Théorème des bornes

triphasé dont les extrémités arrivent sur des bagues solidaires du rotor reliées à la plaque à bornes via des balais. - rotor à "cage d'écureuil": barres conductrices logées dans les encoches à la périphérie du rotor court-circuitées aux extrémités par deux anneaux conducteurs. ‰ anneau 1 2’ 3 3’ 1’ lames 2 Stator = inducteur de la MAS Rotor à cage d’écureuil Plaque à bornes Bagues FST Tanger / Dépt Génie Electrique 30 M. EL MRABET Machine asynchrone

intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utilisation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien cerner les difficultés et ici aussi de donner suffisamment de variété dans les exemples. En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les problèmes

Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Division euclidienne et pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

objectif réalisable mais il est dans certains cas utile en tant que référence, par exemple, pour normaliser les valeurs des objectifs. A la différence du vecteur idéal qui représente les bornes inferieures de chaque objectif dans l’espace faisable, le vecteur de Nader correspond à leurs bornes supérieures sur la surface de Pareto et non pas dans tout l’espace faisable (voir figure au dessus). Ce vecteur sert à restreindre l’espace de recherche, il est utilisé dans certaines méthodes d’optimisation

point de vue pratique, on retiendra que l’accélération peut s’écrire sous différentes formes équivalentes : → − →(→, t) = ∂ v + →.→ → − − − − − γ x v v ∂t → − − →(→, t) = ∂ v + − → − − γ x grad ∂t v2 2 − − → − + rot → ∧ → v v ou encore : II.6 Théorème de Reynolds Soit un ensemble de particules fluides que l’on M0 suit dans leur mouvement. L’ensemble occupe M le volume Dt à l’instant t. Soit aussi une propriété physique représentée en variable d’Euler − par F(→, t). x Dt D0 La question est :

appel par la suite, ainsi que quelques propriétés. Pour d’évidentes raisons de place, ce document ne peut prétendre présenter les démonstrations de tous les théorèmes mentionnés. Le lecteur désireux de consulter leurs preuves pourra se reporter aux ouvrages de référence dont la liste se trouve à la fin de ce rapport. Au cours de celui-ci, les théorèmes seront énoncés ou rappelés sans entrer dans les détails de leur démonstration. 3 1.1.1 Ensembles et fonctions convexes Définition 1.1.1 (ensemble

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes

L’estimateur T de θ est dit convergent en probabilité si : ∀ǫ > 0, n→+∞ lim P (|T − θ| < ǫ) = 1. Théorème 1 Tout estimateur sans biais ou asymptotiquement sans biais tel que limn→+∞ Var (T ) = 0 est convergent en probabilité vers θ. ǫ Preuve Utiliser l’implication |T − IE (T )| < 2 ⇒ |T − θ| < ǫ et l’inégalité de BienayméTchebicheff : ∀ǫ > 0, P (|T − IE (T )| < ε) Var(T ) . ǫ2 6 Théorème 2 Sous les hypothèses de régularité suivantes : H1 : Le support de la densité D = {x / f (x; θ) > 0}

6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Comparaison des modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.6 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.7 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Bibliographie 125 c ⃝Boukhari.F Introduction Ce manuscrit est une introduction au calcul des probabilités