Théorème des bornes

(an xn0 )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x n |an x | = = |a x | ≤ M · La série est une série géométrique de rain 0 xn0 x0 x0 x 0 n=0 x son < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série x0 convergente et par conséquent la série ∞ n=0 gente, la série entière r tel que 0 < r < |x0 |. n=0 n=0 |an xn | est an xn converge absolument pour |x| < |x0 |. 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. n an xn0 xn

quoi sert-elle ? Quelle est le lien entre AOA et probabilité risque neutre ? Qu’est ce que la relation de parité Call-Put ? Est-ce toujours une égalité ? Pouvez-vous établir une relation entre les taux de change spot et forward ? Qu’elles sont les bornes inférieures et supérieures du prix d’un call européen ? Pourquoi le prix d’un call européen est-t-il convexe par rapport au strike ? En est-il de même pour un Put ? 1.4. Notions de base en gestion Qu’est-ce que la gestion alternative ? Qu’est-ce

(an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série géométrique de raixn x0 x0 x0 0 n=0 x son < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série x0 convergente et par conséquent la série ∞ n=0 ∞ n=0 |an xn | est an xn converge absolument pour |x| < |x0 |. ∞ n=0 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. an xn xn x n r n 0 |an xn | = = |an xn | ≤M · Comme 0

H2 2 H+ + 2 eH2 +  H2O + 2 cation H+ Cathode conducteur électronique e- oxygène Réduction : ou ou O2- Conducteur Ionique ½ O2 + 2 H+ + 2 e-  H2O anion O2- ½ O2 + 2 e-  O2- ou e- • La tension aux bornes de la cellule est : Ei=0 = - ΔG ~1V . 2F 4 Différence entre une PaC et une batterie • Contrairement aux piles traditionnelles ou aux batteries, l’énergie n’est pas stockée dans le volume du générateur électrochimique mais dans des

6 4.3 Exemples d’utilisation de la formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formule d’Itô multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Théorème d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Le processus d’Ornstein-Ulhenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equations différentielles stochastiques à valeurs vectorielles . . . . . . 5.4 Propriété de Markov des

courant direct valait IF=Vcc/R. Il décroît ensuite linéairement (avec une pente limitée par l'inductance Lp à Vcc/Lp si R négligeable devant Lp) jusqu'au temps T1. Durant cette période, la tension aux bornes de la diode chute, car elle est diminuée d'une tension E=Lp.di/dt apparaissant aux bornes de Lp. Le courant s'inverse (évacuation des charges en excès) jusqu'à atteindre une valeur IRM : c'est la phase de recouvrement inverse. IRM peut atteindre au plus Vcc-/R (si R est la charge résistive

repère orthogonal et a obtenu les informations suivantes : En utilisant toutes ces informations, en déduire les variations de f x ‒ ∞ xA xB + ∞ Signe de f ’(x) ‒ 0 + 0 ‒ Variation de f f(xA) f(xB) 3. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Préciser si Cf admet des asymptotes. Si oui, donner leur équation. Limite en ‒ ∞ : lim x ‒∞ ex = 0 donc lim x ‒∞ (ex ‒ 1 ) = ‒ 1 donc, par limite d’un quotient lim x ‒∞ ex = 0 donc

< x car x > 0 ⇐⇒ f (x) < x Donc, pour tout x > 0, f (x) < x ; or, pour tout n, un > 0 donc f (un ) < un ce qui veut dire que un+1 < un . La suite (un ) est donc décroissante. 4. a. La suite (un ) est décroissante, minorée par 0, donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (un ) est convergente. b. On admet que la limite de la suite (un ) est solution de l’équation xe−x = x. On résout l’équation x e−x = x : x e−x = x ⇐⇒ x ( e−x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou e−x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou e−x =

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement

La suite (an xn0 ) est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x |an xn | = ≤ M · La série est une série géométrique = |a x | n 0 xn0 x0 x0 x 0 n=0 x < 1, donc convergente. D’après le théorème de comparaison, la série de raison x0 ∞ n=0 |an xn | est convergente et par conséquent la série |x| < |x0 |. 2.) Soit 0 < r < |x0 | et soit |x| ≤ r. n an xn0 xn r n n x |an xn | = ≤ M · Comme = |a x | n 0 xn0 x0 x0 convergente, la série entière