Théorème des bornes

même de longs calculs, pour les découvrir ou les démontrer ? Si les vérités arithmétiques étaient réellement intuitives, il ne serait pas si difficile de s’assurer qu’un nombre donné est premier, ou de vérifier (je ne dis pas : de démontrer) le fameux théorème de Goldbach : « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». En réalité, il y a là une erreur fondamentale sur la nature des vérités arithmétiques singulières, qui sont toutes démontrables ; les seules vérités primitives ou indémontrables

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Vaschy-Buckingham ou théorème Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Vaschy-Buckingham Méthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application no 1 du théorème Π : force de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . Application n 2 du théorème Π : puissance d’une explosion nucléaire . . . . . . Application n 3 du théorème Π : loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . .

gauche : x ∈ [a, +∞[ ⇐⇒ a x – Demi-droite ouverte à droite : x ∈] − ∞, b[ ⇐⇒ x < b – Demi-droite fermé à droite : x ∈] − ∞, b] ⇐⇒ x b Remarque Un intervalle ouvert peut aussi être noté avec des parenthèses : (a, b). Dans l’écriture des intervalles, les bornes infinies sont toujours ouvertes. Exemple 1 – [2, 5] tous les nombres de 2 à 5, incluant 2 et 5, – [2, 5) n’inclut pas 5, – [1, 2[∪[3, 4] l’union de [1, 2[ et [3, 4]. 4 5. Exposants et radicaux Voici une liste des notations de base et des propriétés

b a f g (n) . 2. Application : On pose Qn (x) = (1 − x2 )n et Pn (x) = Pn (x). Justifier que Pn est un 1 o e polynˆme de degr´ n, puis prouver que −1 QPn = 0 pour tout polynˆme Q de degr´ o e inf´rieur ou ´gal ` n − 1. e e a ´ ` Autour du theoreme fondamental Exercice 10 - Toutes les int´grales sont nulles - L1/Math Sup e Soit f : [a, b] → R continue telle que, pour tout couple (α, β) ∈ [a, b]2 , on a Montrer que f ≡ 0. β α f (x)dx = 0. Exercice 11 - D´riv´e p´riodique - L1/Math Sup

entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12 p. 16 p. 20 p. 24 p. 28 p. 32 GÉOMÉTRIE

morts (battements d'une demi-heure, transports, etc.) peuvent représenter parfois plusieurs heures par jour. Ils seront donc utilisés pour des choses qui peuvent être interrompues (apprentissage du vocabulaire des langues vivantes, des dates en histoire, des théorèmes en maths, etc.) - les nuits sont réservées au sommeil, même et surtout avant les contrôles ou les examens ! Le travail nocturne n'est jamais efficace car il intervient au moment où le sang est empoisonné par l'accumulation des déchets d'assimilation

Se souvenir des propriétés géométriques des figures particulières étudiées au collège : quadrilatères, triangles, cercles, polygones réguliers. Principaux théorèmes À savoir Se souvenir des principaux théorèmes de géométrie étudiés au collège : théorème de Thalès, réciproque de ce théorème, théorème de Pythagore, réciproque de ce théorème. Trigonométrie À savoir Se souvenir des définitions du cosinus d’un angle, de son sinus et de sa tangente, ainsi que des relations qui les lient. D

3 3/4 SCIENCES PHYSIQUES 13 G 27 A 01 Séries : S2-S2A-S4-S5 Epreuve du 1er groupe 3.2. Etude du mouvement de la bille dans l’huile 3.2.1. Les intensités de F et f ne sont plus négligeables devant celle du poids. Par application du théorème du centre d’inertie, montrer que l’équation différentielle du + V = C où C et sont des mouvement de la bille peut s’écrire sous la forme : constantes. (0,5 point) 3.2.2. Donner l’expression de C en fonction de g, ρac (masse volumique de

dans [1; +∞[. Or 0 ∈ [1; +∞[. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, g (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; +∞[, telle que g (α) = 0 ⇔ αe α = 1. g (0, 567) ≈ −3×10−4 < 0 et g (0, 56) ≈ 2, 37×10−3 > 0 donc 0, 567 ≤ α ≤ 0, 568. c. Préciser le signe de g (x) selon les valeurs de x. Comme g est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ : g (x) < 0 si x ∈ [0; α[ et g (x) ≥ 0 si x ∈ [α; +∞[. 2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[. lim f (x) = +∞, car e 0 = 1 et