Théorème des quatre couleurs

cours et les exercices demandés (recopier et coller les corrigés si nécessaire ) Problème : Théorème de Ptolémée Ptolémée était un astronome, mathématicien et géographe grec qui vécut au II ème siècle de notre ère (Encyclopédie ou Internet pour tout connaître sur sa biographie). Il découvrit et démontra le théorème suivant : Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle (c'est à dire que ses quatre sommets appartiennent à un même cercle) alors la somme des produits des longueurs de ses côtés

Exercice 4 Cet exercice est inspiré de la nouvelle de Claude Berge Qui a tué le Duc de Densmore (Bibliothèque Oulipienne n ◦ 67, 1994, Réédition Castor Astral, 2000). Dans cette nouvelle policière, le lecteur peut découvrir le meurtrier grâce à un théorème combinatoire dû au mathématicien hongrois G. Hajós. Un jour, Sherlock Holmes reçoit la visite de son ami Watson que l’on avait chargé d’enquêter sur un assassinat mystérieux datant de plus de trois ans. À l’époque, le Duc de Densmore avait été tué

k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 + C33 a 0b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 En appliquant le théorème de Newton avec a = 1 et b = x ou b = -x on obtient les deux identités suivantes:

(nous en avons discuté dans le chapitre consacré aux ondes planes). Nous allons donc nous consacrer à l'échantillonnage d'un signal sinusoïdal (les résultats s'étendraient de toutes façons à toutes les formes de signaux périodiques en appliquant le théorème de décomposition en séries de Fourier). L'échantillonnage consiste à mesurer la valeur du signal de façon périodique, en espaçant les points de mesure d'une "distance" constante. Dans le cas d'un signal temporel (cas de l'onde sonore), les mesures

8 2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8 2.1.3.3. Application géométrique 9 2.2. Chaînes et cycles eulériens 10 2.2.1. Exemple du trait de crayon unique 10 2.2.2. Notions de chaîne eulérienne et de cycle eulérien 10 2.2.3. Théorèmes d’Euler 12 2.2.4. Les sept ponts de Königsberg 14 2.2.5. Recherche d’une chaîne eulérienne à l’aide d’un algorithme 15 2.2.6. Modification du graphe afin d’obtenir un cycle eulérien 17 2.3. Matrice associée à un graphe 17 2.3.1. Exemple

d'une bande d'audacieux voleurs d'œuvres d'art. Effet. Les seize cartes sont disposées en carré 4×4 sur la table. Les spectateurs plient ce carré dans l'ordre qu'ils veulent pour n'obtenir qu'un paquet de seize cartes. Et pourtant à la fin seuls les quatre rois se retrouvent dans le même sens dans le paquet ainsi formé. Matériel 16 cartes à jouer, dont les 4 rois et 12 autres cartes (plutôt des valeurs que des figures pour éviter les confusions avec les rois). Le tour Il y a bien longtemps, vivait

correctement et de continuer ses travaux. Entre 1903 et 1905 il déménage dans l'actuelle maison Einstein à Berne. 1905 sera l'année phare pour lui ; Il obtient son doctorat pour une théorie sur les dimensions des molécules. La même année, il publie quatre articles qui révolutionneront la physique sur la relativité restreinte, l'équation E=mc2, la nature corpusculaire de la lumière et le mouvement brownien. En 1909, il est nommé professeur titulaire à l'Ecole Polytechnique de Zurich. Albert continue

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement

le Pape Jules II. Cette œuvre de 7.70 m par 4.40 m montre les principaux philosophes grecs. Elle se situe dans la Chambre de la Signature des musées des Vatican. Dans cette œuvre, nous pouvons remarquer les trois parties horizontales ainsi que les quatre parties verticales. Au premier plan, du centre de la fresque vers l’extrémité gauche, se trouve le groupe des philosophes. Héraclite, le philosophe pessimiste, est isolé des et s’appuie sur un bloc de marbre, pour écrire son nouveau traité. Il est

de façon à maximiser l’utilisation des registres et de minimiser les accès à la mémoire. Ce problème est résolu grâce à la coloration de graphes, attribuant à chaque noeud / variable une "couleur", de sorte que deux sommets adjacents (variables utilisées dans le même temps à un programme) n’ont pas la même couleur. Il s’agit d’un problème NPcomplet. — La planification d’une conférence ou examens...(coloration de graphes). — Le parcours optimal de distribution : Le problème du postier chinois consiste