Théorème des quatre couleurs

Colloquium Morgenstern du jeudi 18 novembre 2010 par M. Georges Gonthier Le génie mathématique, du théorème des quatre couleurs à la classification des groupes Geoeges Gonthier est chercheur chez Microsoft Research Cambridge, il a auparavant travaillé sur la théorie de la concurrence, d'optimisation de calcul, le lambda-calcul, le garbage collecting, et théorème des quatre couleurs. Ses résultats, notamment sur les mathématiques abstraites, ont une notoriété publique. Il s'intéresse aux ordinateurs

Le théorème des quatre couleurs GRAILLET Alexandre 2nde 4 La propriété du théorème des quatre couleurs dit que quelle que soit la complexité d'une carte géographique quatre couleurs suffisent pour la colorier, sans que deux frontières soient de la même couleur Exemple Il faut quatre couleurs dès que : - une région est entourée d'un nombre impair de régions     Principe Pour démonter ce théorème il a fallut 124 ans d'efforts et une dizaine de mathématicien dont les plus

Berge. Coloration, Graphes Parfaits   Dans un graphe (voire un hypergraphe) G = (V, E) une k-coloration est une affectation d'une couleur de l'ensemble des couleurs {1, ..., k} à chaque sommet de telle sorte que, pour toute arête uv de G, les sommets u et v ont une couleur différente (pour un hypergraphe on exige que chaque arête porte au moins deux couleurs). Un graphe est dit k-colorable s'il admet une k-coloration. Déterminer si un graphe est k-colorable est un problème NP-complet pour

2.3 2.3. 13 On lance deux fois une pièce de monnaie. On écrit p si la pièce montre pile et f si elle montre face. Écrivez l'ensemble Ω . Une urne contient quatre boules numérotées 1, 2, 3 et 4. On tire successivement deux boules de l'urne, sans remettre la première boule tirée avant le tirage de la seconde. Écrivez l'ensemble Ω . Quatre chevaux avec les dossards numérotés de 1 à 4 font une course. Écrivez l'ensemble Ω des tiercés possibles. Premiers pas en probabilités Considérons une expérience

Définir une loi de probabilité sur un univers Ω = {x1 ; x2 ; xn }, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif ou nul de telle façon que : p1 + p2 + . . . + pn = 1. Le nombre pi est appelé probabilité de l’évènement élémentaire {xi }. Theoreme 1.1 (Loi des grands nombres) Si l’on répète n fois la même expérience de manière indépendante, dans les mêmes conditions, une loi de probabilité étant définie, si n tend vers l’infini alors la fréquence d’une issue tend vers la probabilité de cette

d’incompatibilité. On cherche alors à décomposer l’ensemble des sommets du graphes en sousensembles indépendants (compatibles). Dans la coloration d’une carte de géographie, deux pays ayant une frontière commune ne doivent pas être coloriés dans la même couleur ; on trace donc une arête entre ces deux pays (représentés par des sommets du graphe). A B Exemple : un examen comporte cinq matières A, B, C, D, E, et des étudiants doivent passer plusieurs de ces matières. Si chaque épreuve dure une demiC journée

science des nombres est à la fois arithmétique, donc scientifique, et arithmologie, donc symbolique. Chaque nombre est un symbole. La justice est quatre, la vie (et le mariage) est cinq52, la perfection est dix, etc53. Philolaos tient que le nombre 1 symbolise le point, le 2 la ligne, le 3 le triangle, le 4 le volume [voir Platon], le 5 les qualités et les couleurs, le 6 l'âme, le 7 l'esprit, la santé et la lumière, 8 l'amour, l'amitié, la ruse et l'intellection, le 10 la perfection54. Musique Tout commence

RECHERCHE M2 | Théorème en acte : une situation problème en géométrie | | année scolaire 2011 / 2012 | Sommaire Introduction 3 I/ Théorème en acte 4 1. Définition 4 2. Les rôles du maître et de l’élève dans le théorème en acte 5 II/ La géométrie 5 1. Définition de la notion 5 2. La géométrie dans les programmes 6 III/ Le théorème en acte dans la géométrie 9 1. L’exemple des napperons de Marie Lise Peltier : comment faire évoluer des théorèmes en acte 9 2

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

sont planaires. Il est facile d'en déduire que tout graphe qui contiendrait une subdivision de l'un des ces deux graphes comme sous-graphe n'est pas non plus planaire. Le théorème de Kuratowski arme que la réciproque est vraie. Mais ce théorème est assez délicat à prouver, nous ne ferons donc que le mentionner ici. Théorème 6 (Kuratowski  1930) Un graphe est planaire si et seulement s'il ne contient pas de subdivision de K3,3 ou de K5 . 2.1 Exercices Prouver que, pour un graphe planaire