Théorème des quatre couleurs

Université de Nice-Sophia Antipolis et GREDEG pierre.garrouste@orange.fr Plan  1. Rappels      Préférences Utilité Risque Information La règle de Bayes L’équilibre walrasien L’existence de l’équilibre Le premier théorème du bien-être Le second théorème du bien-être Les externalités Le financement des biens publics La sélection adverse Le hasard moral Les dilemmes Leurs solutions  2. L’équilibre général      3. Les défaillances du marché    4. Les asymétries

Chapitre 5 Probabilités et variables aléatoires sur un univers fini Exercice 0 : Questions de cours 1/ Formule des probabilités composées 2/ Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste

2/Notation [pic] : Définition  Soit [pic] et [pic] ; 1[pic], on pose par définition : [pic][pic] p facteurs . [pic] et [pic] . Théorème |[pic] et [pic] ; [pic]. | 3/Notation [pic]  Définition  Soit [pic] et [pic] / [pic] On pose par définition : [pic] Exemple  [pic] , [pic] , [pic] , [pic] Théorème  |[pic] et [pic] ; [pic] ou bien [pic] . | 4/Cardinal d’un ensemble fini 

en asynchrone). Complexité en nombre de messages Un message sur un arête coûte "1". On compte le nombre de messages échangés sur G par P (noté MESSAGE(P, G)) durant l'exécution de P sur G dans le pire des cas. Quelques exemples On considère quatre algorithmes PA, PB, PC, et PD qui s'exécutent sur KN (graphe complet à n sommets) : • PA : envoie un message M de 0 à 1 • PB : envoie un message différent Mi en parallèle depuis i vers i + 1(mod n), et ce, pour tout i • PC : envoie un message M depuis

est le Pape Jules II. L'oeuvre se trouve à Rome à la Chapelle Sixtine au Vatican. Il s'agit d'une fresque faisant parti de quatre parois situé dans la stanza (la chambre de la Signature). La fresque est composé d'une reflexion philosophique et antique idéalisé par les Humanistes. Les dimensions de l’œuvre correspondent à 7,70 m de longueur pour 5,50 m de largeur. Les couleurs dominantes sont le pastel, l'ocre et le beige avec une présence du bleu ainsi que de l'orange. En quoi l'oeuvre est-elle

corde à cette hauteur sans aide). Corde Piquet 50 m 50 m La longueur AB représente cette hauteur maximale pour laquelle on peut lever la corde en la saisissant en son milieu. Le triangle ABC étant rectangle en B, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Donc : AC2 = AB2 + BC2 50,52 = AB2 + 502 2 550,25 = AB2 + 2 500 Et donc : AB2 = 2 550,25 – 2 500 = 50,25 Ainsi, à l’aide de la touche « racine carrée » de la calculatrice : AB ≈ 7,09 Conclusion : Il

Questions à Valère Novarina PASCAL OMHOVÈRE – Les quatre mouvements de L’Acte inconnu, «L’Ordre rythmique», «Comédie circulaire», «Le Rocher d’ombre», et «Pastorale égarée » sont-ils comme autant de pièces mises ensemble ? VALÈRE NOVARINA – Non. Plutôt quatre phases d’une métamorphose, quatre temps. Comme il y a quatre sens dans toute écriture : le sens littéral, le sens symbolique, le sens moral, le sens anagogique – dont le nom latin (sursumduction) dit bien ce qu’il est : un sens à l’arraché

l’orbite de la lune, et le diamètre de cet orbite. La révolution de la lune dans cet orbite se fait en vingt-sept jours, sept heures, quarante-trois minutes » ; donc on peut trouver combien de pieds de Paris la lune parcourt par minute ; »et par un théorème, il est démontré que la force centrale qui ferait tomber un corps de la hauteur de la lune, ne le ferait tomber que de quinze pieds de Paris dans la première minute. » « Maintenant, si la règle par laquelle les corps pèsent, gravitent, s’attirent

même probabilité d’apparition (équiprobabilités). Si Ω se décompose en n événements élémentaires, on a : ∀i ∈ (1, 2, . . . , n) on a : P ( ei ) = 1 n Exemple : Pour un dé à jouer équilibré, chaque face a une probabilité de d’apparition. 1 6 Théorème 1 : Dans une loi équirépartie, la probabilité de l’événement A vérifie : P( A) = PAUL M ILAN nombre d’éléments de A nombre de cas favorables = nombre d’éléments de Ω nombre de cas possibles 4 T ERMINALE S 1. RAPPELS Remarque : Lorsque la loi

4  28 2 précédent donc : 16= A 3 A = p ! n  p A 4 − A4 −4 × 4! 20 16 4 20 − A4 −16 A3 16 16 20−16−4 16  4 4 3 5) Attention, il faut bien lire la question, ici couleur désigne noir ou rouge et non pique, cœur, carreau, trèfle. On choisit la couleur des deux cartes donc 2 cas, puis cas 2 88 2 3 28 5 donc _______________________________________________________ Une classe de 30 élèves, 12 filles et 18 garçons, doit élire un comité