Théorème

On a : F'1(y) = f' (x+y) x 1 et F'2(y) = f'(x) x f'(y) On doit donc avoir, pour tout y appartenant à R, f'(x+y) = f(x) x f'(y) En particulier, si y=0 alors f'(x) = kf(x) 2. Étude de l'équation différentielle f' = kf (avec f(0) = 1) Théorème et définition (k=1) La fonction f dérivable sur R et vérifiant f'=f et f(0)=1 existe et est unique. On l'appelle la fonction exponentielle. Démonstration *Unicité Supposons 2 fonctions f et g distinctes et dérivables sur R, vérifiant f'=f

probabilité qu’un élève fasse de l’anglais sachant que c’est un garçon : 48 |G ∩ A| = . |G| 70 On constate aussi que 48/150 48 P(G ∩ A) = = . P(G) 70/150 70 5.1 Probabilité conditionnelle PB : P(Ω) −→ [0, 1] A −→ PB (A) = P(A ∩ B) P(B) Théorème 1 : Soit B ∈ P(Ω) telle que P(B) = 0. Alors l’application est une probabilité sur Ω. 2 Probabilité conditionnelle et indépendance démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B ∩ Ω = B, il est clair que PB (Ω) = 1. Soient alors A1

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

pour tout i, j, yi,j est soit xk , soit ¬xk pour l’un des xk . Réponse: Décider si F est satisfiable : c’est-à-dire décider s’il existe x1 , · · · , xn ∈ {0, 1}n tel que F s’évalue en vraie pour cette valeur de ses variables x1 , · · · , xn . Théorème 12.1 Le problème 3-SAT est NP-complet. Démonstration : Notons tout d’abord que 3 − SAT est bien dans NP. En effet, la donnée d’une affectation de valeurs de vérité aux variables constitue un certificat vérifiable en temps polynomial. On va réduire

réellement un système physique dans cette vieille et antique opinion ? C'est ce dont on pourrait douter. Mais pour Thalès on dit que telle fut sa doctrine.8 » — Aristote, Métaphysique, A, III, 983 ; trad. Victor Cousin, 1838 Mathématiques Théorème de Thalès :  Diogène Laërce, dans Vies, Doctrines et sentences des philosophes illustres, vol. 1, précise que Hiéronyme dit que Thalès mesura les pyramides d'Égypte en calculant le rapport entre leur ombre et celle de notre corps. L'anecdote rapporte

(2), I1 I2 I R1 E1 A .N : • G (E 1 = 12V ; R 1 = 1,5 Ω ) • G (E 2 = 8V ; R 2 = 0,5 Ω ) R2 + R1 R2 E2 = R1 E1 R2 E2 ⇒ E1 - E 2 12 - 8 ⎧ = =2A ⎪I = ⎪ R 1 + R 2 1,5 + 0,5 ⎨ ⎪I = I1 - I2 = 12 - 8 = 2 A ⎪ 2 2 ⎩ 1.2 - Théorème de superposition Dans un circuit électrique linéaire comprenant plusieurs sources indépendantes, l'intensité de courant électrique dans une branche est égale à la somme algébrique des intensités produites dans cette branche par chacune des sources

.................. 26 Chap. 4 Théorème de Gauss - Applications I. Utilité du théorème de Gauss :.............................................................................................. 28 II. Théorème de Gauss : ........................................................................................................... 29 II.1. Flux du champ créé par un charge ponctuelle : ............................................................ 29 II.2. Enoncé du Théorème : ............................

variables . . . . 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Eléments de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes généraux d’existence et unicité 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorèmes d’unicité . . . . . . . . . . . . . 2.4 Théorèmes sur les solutions globales . . . . 2.5 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eléments

précédente et de s’apercevoir que d’un coté on calcule Hn et de l’autre les termes s’éliminent presque tous deux à deux. 3. La limite est +∞. 4. Calculer un+1 − un . 5. C’est le théorème de Bolzano-Weierstrass. Indication pour l’exercice 7 Pour la première question : attention on ne demande pas de calculer α ! L’existence vient du théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité vient du fait que la fonction est strictement croissante. Pour la dernière question : il faut d’une part montrer que (xn ) converge