Théorème

Sujet à AT y  c y0 Théorèmes de dualité • Il est facile de démontrer que nous pouvons passer d’une paire de problèmes primal-dual à l’autre. • Il est également facile de démontrer que le problème dual du problème dual est le problème primal. • Nous allons donc démontrer les théorèmes de dualité en se référant à la paire où le problème primal est sous forme standard: primal min c T x Sujet à Ax  b x0 Dual max bT y Sujet à AT y  c Théorèmes de dualité • Théorème de dualité faible Si x

entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss. § 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation (1) 7x + 12y = 5. Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette équation puisque (2) 7 × (−1) + 12 × 1 = 5. Pour éliminer le terme constant

- Enfant prodige, né à Brunswick dans une famille pauvre, Gauss obtint une bourse (1792) du duc de Brunswick afin de poursuivre ses études. Il étudia à Göttingen de 1795 à 1798 et soutint sa thèse de doctorat : la démonstration du théorème fondamental de l'algèbre ainsi que l'invention de la théorie des congruences (relation pouvant unir deux entiers) l'année suivante à Helmstedt sous la direction de Pfaff. Illustre mathématicien (arithmétique, géométrie différentielle), physicien (importants travaux

suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème : Soient (un ) et (vn ) deux suites convergeant vers deux limites et . Alors la suite (wn ) définie par wn = un + vn est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim wn = + . De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente

= E   ln δ.(1 − a )     ln(a )  ( ) IV MISE EN EQUATION DU RUGOSIMETRE Question n°4 (quarante minutes) : Déterminer deux équations différentielles sans autre paramétrage géométrique que (x, ), par l’application de principes, théorèmes et méthodes laissés à l’initiative du candidat. Constater que ces équations sont non-linéaires, et 5/17 Mines-Ponts MP 2006 (corrigé) couplées (c’est-à-dire qu’elles ne sont pas réductibles à deux équations à une seule variable chacune). Graphe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions Parité Paire Impaire Symétrie (Oy) O * Théorème des valeurs intermédiaires: Soit une fonction f définie et continue sur I et deux réels a, b de I. Pour tout k Є *f(a);f(b)+, il existe un réel c compris entre a et b, tel que f(c) = k. * Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires: Si une fonction f est continue et strictement monotone sur *a;b+, alors pour tout réel k Є *f(a);f(b)+, f(x) = k admet une unique solution dans [a;b]. Positions relatives de deux courbes: Cf strictement

normative d’un marché isolé. • Rend compatible les plans des agents… • Maximise la somme des surplus des participants. „ L’économie normative du marché généralisé. • Rend compatible les plans des agents. • Epuise le potentiel de bien-être… • Le premier théorème de l’économie du bien-être. Le critère de Pareto. „ Le critère de Pareto : définition. • Une situation A est préférée au sens de Pareto à B • ⇔ chaque agent final préfère A à B, la préférence est stricte pour l’un au moins…. „ Le critère de

et x2 s’expriment de manière unique en fonction de x1 et − → − x2 ; on en déduit que (→ e1 , − e2 ) est bien une base, puisque le vecteur → x = (x1 , x2 ) est arbitraire. NOTES DU COURS DE MATHS 3 3 Représentation graphique. Théorème 1.4 (Résultat admis). Les bases de Rn sont les parties libres de Rn constituées d’exactement n vecteurs. On rappelle la définition suivante. →, . . . , − →} est une partie libre si pour Définition 1.5 (Partie libre). On dit que {− x x 1

le 5 juin 2010 L’origine du paradoxe Le paradoxe de LEONTIEF a pour origine la volonté de vérifier la validité empirique de la théorie des proportions de facteurs et plus précisément le théorème d’HECKSCHER-OHLIN-SAMUELSON Dans les années 1950, Wassily LEONTIEF (1905-1999) a testé la validité empirique du théorème d’HECKSCHER-OHLIN qui prévoit qu'un pays devrait exporter les biens dont la production requiert l'utilisation intensive du facteur disponible en abondance dans le pays. Dans le cas des États-Unis