Théorème

Une équation du type (a x+b)(c x+d )=0 est une équation-produit. Théorème du produit nul Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses (ces) facteurs est nul ! Autrement dit : Pour tous nombres réels a et b: [ a×b=0⇔ a=0 ou b=0 ] ou encore : [ (a x+b)(c x+d )=0 ] équivaut à [ a x+b=0 ou c x+d =0 ]. Exemple 3. Résoudre l'équation : (2 x+3)( x−4)=0 C'est une équation-produit. Donc, d'après le théorème du produit nul, on a : (2 x+3)( x−4)=0 équivaut à donc 2 x+3=0

DE LA STATIQUE .............................................................................................43 CAS DES PROBLÈMES PLANS ...........................................................................................................44 THÉORÈME DES ACTIONS MUTUELLES ..............................................................................................46 ETUDE DE L'ÉQUILIBRE ........................................................................................................

et u n 1 = 2 u n1 u n−1 pour tout entier n. 1. Démontrer par récurrence que u n ∈ [ 2 ; 5 ] pour tout n4. En déduire que la suite est bornée. 2. Si la suite converge vers L, déterminer un encadrement de L. En déduire L. 3- Convergence : Théorème 1 : Toute suite convergente est bornée. Remarque 2 : Si une suite n’est pas bornée alors elle diverge. Propriété 2 : 1. Si une suite est croissante et n’est pas majorée alors elle diverge vers ∞ . 2. Si une suite est décroissante et n’est pas minorée

c.jossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algèbre_de_Boole\_Algèbre_de_Boole.doc Algèbre de BOOLE SOMMAIRE : 1. Présentation, historique 2. Propriétés; 2.1. Identités remarquables; 2.2. Théorèmes de DE MORGAN. 3. Représentations graphiques : 3.1. Logigrammes; 3.2. Schémas à contacts; 3.3. Chronogrammes. 4. Simplification des expressions booléennes : 4.1. Méthode algébrique; 4.2. Méthode des tableaux de Karnaugh. Outils informatiques : . . . Sites « Web » : . . . Bibliographie : . . AUTOM. / Algèbre de

sens de Riemann . . 3.3.2 Condition pour qu’une fonction soit intégrable . . . . 3.3.3 Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Déf. d’une primitive sur un intervalle . . . . . . . . . . 3.3.6 Lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . 3.3.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.9 Propriété de l’intégrale d’une fonction

B B |A + B|  |A| + |B| (Inégalité triangulaire) 2.4. Théorème : Quels que soient les réels x et y, on a : d(x ; y) = |x – y| 2.5. Théorème : Si A  B et -A  B alors |A|  B et réciproquement. Variante : -B  A  B Û |A|  B Exercices d'application des propriétés et des théorèmes : Concerne P2 et P3 |2x –3| = 0 |3x + 4| = |2x +6| |x| = 9 |2 – x| = –5 P4 |1 – x| |1 + x| = 9 Résoudre les équations ci-dessous Solution(s) Théorème 2.4. |x – 2| = 5 ou P3 |x + 3| = 4 Exercice sur l'inégalité

n’est pas fini. 1.1.3 Théorème : Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) X est infini.  (ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective. 1.1.4 Définition : Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective. X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}. Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini). ℕ est dénombrable.  1.1.5 Définition : Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable. 1.1.6 Théorème : Soit X un ensemble

caractéristique............................... Vecteurs gaussiens ...................................................................................... Théorèmes limites fondamentaux....................................................... Loi des grands nombres ............................................................................. Théorème de la limite centrale................................................................... Comparaison des différents modes de convergence ...............

utilisant les théorèmes de comparaison a) un  n²  2 (n  2) En utilisant la calculatrice on conjecture que, pour tout n  2 , un  Démonstration de la conjecture  n n2  n 2 Soit n  2 , on a :  un   n  2   (Car un et sont positifs). 2 2 4     n 2 n  2 2  un  2  4n  8  n    n   2  un  2  3n  8   Or : n  2 Donc : n2  4 Donc : 3n2  12  8 n Donc : un  2 Détermination de la limite de ( un ) On a : lim n n   et un  2 n 2 Donc : lim un   (Théorème de minoration)

recourant au fameux catalogue des lieux-communs sur la question qui nous sont servis régulièrement par les divers médias. Et, bien sûr, en n’évitant pas le célèbre « les Occidentaux n’on rien compris à l’Orient » et en omettant que ce théorème, comme tout bon théorème, pourrait avoir un corollaire qui dirait que « les Orientaux n’ont rien compris à l’Occident». Rien de nouveau donc sous le soleil de Bagdad après la publication de ce roman, les médias nous avaient déjà tout dit ce que raconte Khadra