Théorème

| |Quotient de deux fonctions u et v : |[pic] | |à condition que v ne s’annule pas sur I | | Théorèmes sur les variations (1) Si u et v sont croissantes sur I, alors la fonction u + v est aussi croissante sur I. Si u et v sont décroissantes sur I, alors la fonction u + v est aussi décroissante sur I. (2) Si k > 0, les fonctions

Résumé du cours d’optimisation. L. HALPERN 13 septembre 2005 2 Table des matières I Résultats théoriques 1 Résultats d’existence 1.1 Théorème de Weierstrass . . 1.2 Cas convexe . . . . . . . . . 1.3 Rappels de calcul différentiel 1.3.1 Dérivées premières . 1.3.2 Dérivées secondes . 1.3.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

imperfections de chaque mode de régulation que d’appréciations différentes de la facilité avec laquelle ces dernières peuvent être corrigées. D (1) Ce résultat fondamental, version moderne de la « main invisible » d’Adam Smith, correspond au Premier théorème de l’économie du bien-être. Par la main invisible, Smith désignait le processus qui, en économie de marché, fait coïncider les intérêts individuels avec l’intérêt général. (2) Succinctement, les trois conditions à remplir sont l’efficacité de l’échange

v(x) = x2 + x 2. f est dérivable sur R \ {−1; 0}, et f (x) = v(x) u v − uv On a alors u (x) = 8x + 1 ; v (x) = 2x + 1 et f = v2 2 2 (8x + 1)(x + x) − (4x + x + 2)(2x + 1) f (x) = . (x2 + x)2 2.3 dérivée d’une fonction composée Théorème : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J. Alors la fonction f définie par f (x) = g ◦ u(x) = g(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I,

1 Définition 1 Médiane On appelle médiane tout réel me tel que : au moins 50% des termes de la série ont une valeur inférieure ou égale à me et au moins 50% des termes de la série ont une valeur supérieure ou égale à me On prouvera, ci-dessous (théorème 1), qu'un tel réel existe toujours ! Remarque : la médiane partage l'ensemble des termes en deux sous ensembles de même effectif. (Enfin presque !) Exemples : Pour l'élève A (N = 8) : me = x4 = 9 (x5 = 10 conviendrait également ou, plus généralement

a ¹ 0, on a GA = 0 d'où : G = A ® ® ® · Si a = b alors GA + GB = 0 , ce qui signifie que G est le milieu de [AB]. (On dira dans ce cas que G est l'isobarycentre de A et B car les coefficients sont égaux) 2. Autres caractérisations du barycentre Théorème 1 Soient a et b deux réels tels que a + b ¹ 0 et G un point du plan. Dans ces conditions, on a : ® ® ® G barycentre de (A, a) et (B, b) Û Pour tout point M du plan, a MA + b MB = (a + b) MG Démonstration : · Si G est le barycentre de (A, a) et (B

étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est continue sur I. Alors la fonction F définie sur I par est continue sur I. |   Le théorème précédent est énoncé dans

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes

qui elles s'approchent plus de la vérité. Les anciens théorèmes ne sont donc jamais délaisser et conservent une importance non négligeable. Par exemple, la théorie de Newton, qui permet d'expliquer la trajectoire des astres dans l'espace, était juste en théorie, mais son application révéla des résultats faux (différent de l'observation). Néanmoins, elle est encore couramment utilisé pour mettre des satellites artificiels en orbite. Les théorèmes « premiers » constituent donc une base relativement fixe

2. Les différents théorèmes sur les suites. 3. Les théorèmes d'opérations sur les limites. 4. En cas d'une des formes indéterminées suivantes : «  »; «   » ; «   » et «   » faire une étude particulière. - On peut faire une conjecture à partir d’observations de valeurs ou un graphique et utiliser la définition. Démontrer qu'une suite admet une limite infinie - On peut utiliser : 1. La définition 2. Les théorèmes d'opérations sur les limites 3. Le théorème de comparaison 4