Théorème

Dois-je croire mon professeur de mathématiques lorsqu’il m’énonce un théorème ou dois-je faire l’effort de le reconstituer ? Si j’admets que le théorème de Pythagore est vrai juste parce que c’est Pythagore qui l’a émit et que c’est mon professeur qui me l’a enseigné, alors j’ai transformé un théorème en opinion, en préjugé. La seule façon d’admettre une vérité de raison, c’est de s’approprier sa démonstration : savoir le théorème de Pythagore, c’est savoir le démontrer par le raisonnement. Les vérités

quoi commencer la résolution d’un problème. La peur de la page blanche en quelque sorte. Il leur suffirait pourtant d’introduire proprement quelques notations, avec méthode, pour s’en sortir. Imaginez par exemple qu’on vous demande de démontrer le théorème suivant : « Toute fonction réelle croissante définie sur R possède une limite en ∞. » Par où commencer ? Il faut d’abord traduire l’énoncé au moyen de quantificateurs : « Pour toute fonction f : R −→ R, si f est croissante, alors lim f existe

PRIMITIVES D’UNE FONCTION Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de F sur I. On a donc : F ’ = f Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I. Théorème 2 : Les primitives d’une fonction f sur un intervalle différent entre elles d’une constante. Autrement dit si F est une primitive de f, toute primitive de f est de la forme F + C ou C est une constante réelle

= f (x)dx. a Et pour a = b on a a P(X = a) = f (x)dx = 0. a Ce qui exprime que la probabilité qu’une v.a. continue prenne une valeur donnée est nulle. I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 4 / 28 Loi d’une v.a. continue Théorème Une fonction f définie sur R est une densité de probabilité si et seulement si : 1 f est continue sur R sauf peut être en un nombre dénombrable de points ; 2 f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R ; 3 R f (x)dx = 1. Exemple Soit f une fonction définie

l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit une primitive de f » a b « f (b) − f (a) = f (t)dt » a Dans

vérité. Toutefois, ce besoin de prouver toutes les vérités est une régression à l’infini. Car pour pouvoir faire une démonstration, il faut en plus des preuves, des exemples et des hypothèses, des théorèmes précédents. Ces théorèmes précédents, déjà établis permettent de donner à notre théorème un point de départ indispensable. Les récurrences en sont l’exemple le plus flagrant. Ce procédé mathématique permet d’admettre une proposition comme vraie, en la vérifiant si elle est toujours aussi vraie

cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n S= p=m sin px C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z : Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t

: 1. Calculer f '(x) et montrer que l’on a : . 2. En déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; +[ (les limites aux bornes ne sont pas demandées). 3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +[ ,on a : Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaisons 1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 2. Déterminer : En déduire On rappelle que la dérivée de la fonction . Correction : Partie A : 1. La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ et

(sécurité d'approvisionnement), l'ingénierie informatique (matériel et logiciel). En théorie économique contemporaine, toute politique économique doit implicitement ou explicitement faire face aux difficultés soulevées par les théorèmes de l'économie du bien-être, le théorème de Coase ainsi que la critique de Lucas. Ces trois éléments de théorie économique soulignent en effet respectivement l'efficacité de l'allocation par le marché, la souplesse des contrats au regard des mesures de politique et enfin

Démontrer que si ^unh et ^vnh sont deux On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite ,, alors tous les termes suites telles que : – un est inférieur ou égal à vn à partir d’un de la suite sont inférieurs ou égaux à ,. Le théorème dit « des gendarmes » est admis. certain rang ; – un tend vers + 3 quand n tend vers + 3 ; alors vn tend vers + 3 quand n tend vers + 3. • Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites. Démontrer que la suite