Tpe Nombres Premiers

quatre autre sur le pourtour comme l’indique la figure ci-contre. Consigne 1 Aide fofo à déterminer trois angles du sommet du cercle. Fofo quitte l’arbre E pour aller à l’arbre F en restant sur le cercle. Aide-le à déterminer le nombre de chemin possible. Parmi ces chemins lesquels sont les plus court. Consigne 2 Soit un cercle de centre O et trois points A ; B et C situés sur ce cercle tel que le point O appartient au segment [AC]. Fait une figure. Cite deux angles au centre

X ∈ ℘(E) Exercice 3 [ 02983 ] [correction] On considère sur F(E, E) la relation binaire R définie par : f Rg ⇔ ∃ϕ ∈ S(E) telle que f ◦ ϕ = ϕ ◦ g Exercice 7 X MP [ 03243 ] [correction] Soit G un groupe multiplicatif de cardinal pα avec p premier et α ∈ N . Montrer que Z(G) = {1} Groupes a) Montrer que R est une relation d’équivalence. b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f ∈ S(E). Exercice 8 [ 00113 ] [correction] Un sous-groupe d’un groupe produit est-il

exercice 3 : ( ) ( ) ( ( ) )) ( ) ( ) ) ( ( (( ) Exercice 4 : Donner la négation mathématique des phrases suivantes 1. Toutes les boules contenues dans l’urne sont rouges. 2. Certains nombres entiers sont pairs. 3. Si un nombre entier est divisible par , alors il se termine par . Soit 4. est positive, c’est-à-dire « , ( ) » ( ) ( )» 5. est paire sur , c’est-à-dire « , Aller à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soient les propositions

On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). 2°) Exemple : Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2 5 8 11 14 17 etc. 3°) Notations possibles : Sionnoteu0lepremierterme,on a:u0 =2,u1 =5,u2=8,etc.et,danscecas,un estle (n + 1)ème terme. Sionnoteu1lepremierterme,on a:u1 =2,u2 =5,u3=8,etc.et,danscecas,un estle nème terme. Dans

Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission. On suppose que est vraie pour tout entier naturel quelconque , , montrons que est vraie ( DANS cette étape on doit UTILISER l’hypothèse de récurrence ) - Si est définie par une inégalité, on part en général de l’hypothèse

(u ). - Une suite u dénie pour tout entier naturel n n est notée (u ) . Remarques : 1. Lorsqu'une suite est dénie pour tous les entiers naturels supérieurs à un certain entier n , on dite que la suite est dénie à partir du rang n . 2. Le premier terme d'une suite u, appelé ausi terme initial, est u lorsque la suite u est dénie sur N et u lorsque la suite u est dénie à partir du rang n . 3. Les résultats énoncés dans le cours, donnés dans le cas général d'une suite (u ) dénie sur N,

Pi1 est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom : π. C’est le rapport, constant, de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de la superficie d’un cercle au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10–15 près2 est 3,141 592 653 589 793 en écriture décimale3,4. Pi1 est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom : π. C’est le rapport, constant, de la circonférence

existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que pour tout n ≥ 0 on a u n ≥ m. 6. Une suite (u n ) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. 2 Les suites arithmétiques Définition 2 Une suite (u n ) est dite arithmétique s’il existe un nombre r , appelé raison de la suite, tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait u n+1 = u n + r . Propriété 1 Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u

Universit´ e Lille I Alg`ebre et th´eorie des nombres 2009/10 Math308 Fiche n◦ 4: Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour

Arithmétique pour les non spécialistes et compagnie …. EXERCICE 1 Le rocher de Sisyphe Dans la mythologie grecque, Sisyphe doit porter chaque jour un rocher en haut d’une montagne, mais une fois en haut, le rocher roule de nouveau jusqu’en bas. Le premier jour, il a fallu cinq heures, en tout, pour monter le rocher au sommet et pour que celui-ci redescende. Chacun des jours suivants, il faut deux fois plus de temps pour monter le rocher que la veille (Sisyphe est chaque jour plus fatigué), et le rocher