Tpe Nombres Premiers

compris entre 1 et 100. En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs. Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits. 2 Le roi de la divisibilité ! Voir programmes sur le site Math’x. Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint la

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité) On considère la suite numérique (un )) définie sur N par : 3 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − . 2 2 Partie A : Conjecture 1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 . 2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 . 3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite

2 1 22 7 3 3 121 . S10 =11× =11× = 2 2 3 On considère la suite (un) définie par u n= Exercice 2 La suite (vn) est une suite géométrique de raison positive telle que v10 = 384 et v14 = 6144. a) Déterminer la raison q de cette suite et son premier terme v0. 6144 Comme (vn) est une suite géométrique, v14 = v10 × q4, donc q4 = = 16. Comme q est 384 positif, on en déduit que q = 2. 384 384 3 = . On sait que v10 = v0 × q10, donc v0 = 10 = 1024 8 2 b) Calculer S7 = v0 + v1 + v2 + .... + v7. n1

: n → +∞ lim u n = – ∞ n → +∞ lim u n = – ∞ ⇔ n → +∞ lim ( - u n ) = + ∞ cas 3 ( suite convergente ) Soit L un réel donné. Intuitivement, dire que ( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus en plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note : lim u n = L n → +∞ De manière plus mathématique : Pour tout ε (ε >

Méthodes Ch 2 : Démonstration par récurrence – Suites numériques Devant un exercice lié à une suite (un) . Se demander quel est le premier terme, comment il se note . Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales ) Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique B – Calculer un en fonction de n C – Etudier les variations de (un) D – Calculer la somme de termes consécutifs E – Etudier le comportement de

variable: x:=2; y:=x; (la première instruction place 2 en mémoire dans la variable x, la deuxième va chercher le contenu de la variable x et le place en mémoire dans la variable y) Valeur approchée: evalf(5/3); (donne une valeur approchée décimale) Nombres de chiffres à afficher: Digits:=6; Calcul symbolique: Développer une expression: expand(…); Simplifier une expression: simplify(…); Fonctions de base: ln(1); sin(Pi/4); exp(1); Représentations graphiques: Tracer une courbe: plot(x^2, x= –5. .5, y=0

Suite définie par une sommation : On conjecture que la suite (Vn) est croissante, qu 'elle est majoréé 1,65. On conjecture alors qu'elle converge vers un réél L inférieur ou égal à 1,65. Au bout du rang 32 (Vn+1) – (Vn) ≤ 10^-3 car (Vn+1) – (Vn) =0,00097656 et au bout du rang 317 on a (Vn+1)-(Vn) ≤ 10^-5 car (Vn+1)-(Vn) = 9,9513E-06 On constate que la différence entre deux termes consécutifs tend vers 0 quand n tend vers + l’infini. Ceci confirme bien que plus n sera grand plus plus (Vn)

les points d’intersection des courbes P et Dm ? (b) Pour quelle valeur de m le point A est-il le seul point commun à P et Dm . Exercice 2. Les nombres s’écrivent avec les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La lettre a représente un de ces chiffres. On note aaa le nombre entier naturel qui s’écrit avec trois chiffres égaux à a et de même a7 le nombre entier naturel dont le chiffre des unités est 7 et celui des dizaines est a. Exemple. Pour a = 5, aaa = 555 et a7 = 57. Déterminer a de telle sorte

l’opération dite du « modulo ». 1. Explication du code : Ce code va compter le nombre de nombres premiers contenus dans la variable liste : Liste Il y a une fonction (function) qui va déterminer si son paramètre (x) est premier ou pas. La valeur de retour est 1 si le nombre est premier, 0 si il ne l’est pas. A noter qu’il ne traite pas le 1. Pour ce faire, on émet l’hypothèse que le nombre est premier (res = 1). Si le nombre est 1, res vaut 0. La valeur de retour est donc nulle. Ensuite on va faire une

Mathilde COURTEMANCHE 3°6 Devoir à la maison de mathématiques à rendre pour le 08/11/10 1. La définition de deux nombres premiers entre eux est : « Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux ; leur seul diviseur commun est donc 1. » 2. 1, 6 et 39 ne sont pas des nombres premiers car 1 n'est pas leur seul diviseur commun. 3. voir tableur 4. Exercice 4 pages 9 et 10 : a) liste des diviseurs de 45 et de 81 : D45= {45 ; 1 ;