Tpe Nombres Premiers

1. Résoudre dans C l’équation :[pic]. (0,5 point) On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution. 2. a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2. (1 point) b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe [pic]. (0,5 point) 3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]) (unité : 1 cm), on considère le point M1 d’affixe [pic], le point M2 d’affixe [pic] et le point A d’affixe

de raison 1/3 et de premier terme t0 = 4 6(n + 1) - 15 6n - 15 → montrons que w est arithmétique : wn+1 − wn = − = 3/2 4 4 - 15 donc w est arithmétique de raison 3/2 et de premier terme w0 = 4 → On a par construction u = t + w. → montrons que t est géométrique : tn = 5. → Tn = t0 + t1 + … + tn est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique t 1 - (1/3)n+1 19 3 donc Tn = t0 × = × × (1 − (1/3)n+1) 1 - (1/3) 4 2 → Wn = w0 + w1 + … + wn est la somme des n + 1 premiers termes de la suite

égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ; • a est divisible

math´matiques seront utiles demain : l’exemple e des coniques Mˆme si certaines des math´matiques actuelles semblent ˆtre d´pourvues e e e e d’applications, rien ne dit qu’elles n’en auront pas demain. Voici deux exemples en ce sens. Le premier concerne ce qu’on appelle les coniques. Ce sont des courbes (ellipses, paraboles, hyperboles) que vous avez peut-ˆtre d´j` vues e ea ` et que les anciens Grecs ´tudiaient pour leurs propri´t´s g´om´triques. A e ee e e l’´poque, elles n’avaient

lequel celui-ci s’affiche un résultat, et l’enfant doit trouver la solution en mettant le premier chiffre puis le seconde chiffre. Exemple, si le programme donne le résultat 10, alors l’enfant peut taper 5 et ensuite 2(ou bien 5 puis 2, 10 puis 1, etc …) Le code fait en sorte que l’enfant ne doit taper que 2 chiffre et celui-ci se multiplie automatiquement. Il se peut que le résultat donné soit un nombre premier (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 & 89) qui

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques

des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études. Par suite, il ne faudra pas hésiter à le relire et le réapprendre de nombreuses fois, quand plusieurs chapitres auront défilé et que vous aurez gagné en maturité. Vous devrez chercher à en cerner l’aspect pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés. Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans les trois premiers chapitres (logique, ensembles et applications

) est divisible par 3. 2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 : 1 max(x, y) = (x + y + |x − y|). 2 Développement Résolutions. 1. 1er cas a ou b est multiple de 3. Si 3 | a alors 3 | ab(a2 − b2 ) et si 3 | b alors 3 | ab(a2 − b2 ). Dans ce premier cas, l’assertion eset vraie. 2e cas a et b ne sont pas multiples de 3. Tout entier naturel s’écrit sous la forme 3k, 3k + 1, 3k + 2 où k ∈ N. Comme a et b ne sont pas multiples de 3, ils s’écrivent sous la forme 3k + 1 ou 3k − 1 (qui revient à

∖ 0 , c'est-à-dire pour tout entier naturel 1 ∖ 0 vers : ∖ 0 → ↦ 1 Son premier terme est =1 Exemple 2 : On définit la suite ( etc …. par: pour les entiers naturels strictement supérieur à 3 Cette suite est définie pour tout ∈ 3 vers 3, est une application de l’ensemble: Son premier terme est =1 Exemple 3 : On définit la suite ( etc …. par:

Remarque : décomposer les nombres en produits de nombres premiers permet d’obtenir directement une fraction irréductible. 3° Division de fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième : a c a d ad ÷ = × = b d b c bc EXEMPLE II. 8 4 8 25 2 × 4 × 5 × 5 10 ÷ = × = = = 10 5 25 5 4 5× 4 1 RAPPELS SUR LES PUISSANCES 1° Définition Pour tout nombre a et tout nombre n entier naturel, on définit le nombre an par : a n = a1×4