Tpe Nombres Premiers

= 0, 2 ⇐⇒ p 1 = 0, 1. 1 On en déduit aussitôt que r = 0, 1 et finalement : p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, 4. 2. a. La probabilité d’obtenir dans l’ordre 1, 2, 4 est p 124 = 0, 1 × 0, 2 × 0, 4 = 0, 008. b. Les tirages donnant trois nombres distincts croissants sont : (1, 2, 3), (1, 2, 4) , (1, 3, 4) et (2, 3, 4). La probabilité d’avoir l’un de ces tirages est donc : p 1 ×p 2 ×p 3 +p 1 ×p 2 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 = 0, 006+0, 008+0, 012+0, 024 = 0, 05. 3. a. On a un schéma

expressions « nombre algébrique », entier algébrique, polynôme normalisé, polynôme canonoque et nombre transcendant ainsi : un nombre complexe est dit algébrique s'il existe un polynôme P(x) non constant à coefficients entiers (c'est à dire dont les coefficients appartiennent à et tel que si de plus le polynôme P(x) peut être choisi « normalisé », c'est à dire tel que le coefficient de son terme de plus haut degré soit 1, on dit que est un entier algébrique un nombre qui n'est pas

CHAPITRE I : LES NOMBRES ENTIERS LES NOMBRES ENTIERS I. Multiples et diviseurs : Vocabulaire : b est un nombre entier et b 0 Un nombre entier a est un multiple d’un nombre b lorsque a est le produit de b par un nombre entier. On dit aussi que b est un diviseur de a. Exemple : a = 84 ; b = 12 a=84=12 7=b 7 84 est un multiple de 12 12 est un diviseur de 84 84 est divisible par 12 Propriété des multiples : La somme de 2 multiples d’un nombre est un multiple de ce nombre. Exemple : 56 est

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p. On note d n le PGCD de A n et A n + 1. (a) Montrer que d n divise 2 n. (b) Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p. Justifier. (c) Dans cette question, toute trace de recherche

2009 par t1 . b) Déterminer le reste dans la d.ivision euclidtenne de 27o par LL. c) Dëterminer le reste dans Ia division eucltdtennu 41 22a0e + 2009 par Lt. 2) On déstgne par p unnombre entier naturelOn considère pour tout entter naturelnonnltln, le nombre: An = 2" * p . Onnote dole PGCD de An et An*1. a) Montrer que dn divtse 2n. b) Déterminer la parité de An en f onction de celle de p . Justif ier. c) Dans cette question,toute trace de recherche ,mhne incomplète,ou d'inttiative mëme nan f ructueus

(le plus petit multiple commun aux dénominateurs) Réduire les fractions à ce même dénominateur commun Calculer Ex : [pic] ; [pic] [pic] Remarques : ( multiplier une fraction par un nombre [pic] ( simplifier une fraction [pic] (( cex : [pic]) ( diviser par une fraction [pic] II. Développer / factoriser : 1) Développer : But : simplifier une expression C’est la (simple ou double) distributivité. ( Attention

brillantes, des points de vue ingénieux et de magnifiques observations. Nous espérons aussi que nos lecteurs ne nous tiendront pas rigueur des imperfections de notre exposé. La sélection est essentiellement due à Paul Erd˝ s lui-même. Il a suggéré un grand nombre de sujets, o plusieurs preuves lui reviennent directement, d’autres ont été amorcées par la bonne question ou la bonne conjecture qu’il a su proposer. On peut donc considérer que, dans une grande mesure, cet ouvrage reflète le point de vue de Paul

6 Les Leonhard Euler Facts . . . . . . . . . . . . . 3.7 En vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Autres blagues grotesques 4.1 C’est un mathématicien, un physicien et... . . . . . . . . . . . 4.2 Tous les nombres entiers impairs supérieurs à 3 sont premiers 4.3 Contrepèteries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Charades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 En vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Secrets

EC1 Devoir Maison N°2 pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour