Triangle amoureux

annexe 1 Partie 4 1.7. le coefficient correspondant à un tuyau de diamètre intérieur égal à 16 mm est K = 7 EXERCICE 2 (4 points) 2.1.1. voir annexe 2 2.1.2. voir annexe 2 2.1.3. voir annexe 2 2.2. voir annexe 2 (pour la nature du triangle, seule la réponse " équilatéral " est exigible) 2.3. OH = OH = OH  10,39 2.4.1. a1 = 12  \f(6  10,4;2 a1 = 374,4 mm2 2.4.2. a2 =  R\s\up4(2 a2 =   62 a2 = 113,1 mm2 2.4.3. a = a1 – a2 a = 374,4 – 113,1 a = 261,3 mm2 SCIENCES PHYSIQUES

téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 2/4 (identite remarquable) • (identite remarquable) IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété : Soit et non nuls. 2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème : Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a. On a : • • • 3. Théorème de la médiane : Théorème : Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] . Pour tout point M, : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 3/4 Ce document

 volume  du  cône  initial.   Le  volume  du  petit  cône  est  égal  à    du  volume  du  cône  initial.  L’affirmation  est  fausse.     Ex  3  :   -­‐  Calcul  de  BC.   Dans  le  triangle  ABC  rectangle  en  A,  d’après  le  théorème  de  Pythagore  :   BC²  =  AB²  +  AC²   BC²  =  300²  +  400²   BC²  =  250000   BC  >  0,    m   -­‐  Calcul  de  CD  et  DE

32(1 + i) = 32i − 2 3 − 32 = i 32 + i 2 3 − 32 On a bien b. = i(zB − zP ) zC − z P z B − z P = i • D’après la partie A, le résultat précédent signifie que le point C est l’image du point B par la rotation de centre P et d’angle π2, alors : le triangle P BC est rectangle et isocèle en P . • On calcule l’affixe du milieu du segment [AC ] : 12(z A + zC ) = 12(3i + 3) = 32(1 + i) = zP . • On calcule l’affixe du milieu du segment [BD] : 12(zB + zD ) = 12(3 + 3i) = zP . Finalement les diagonales [AC

colinéaires. Pour cela, on exprime ces deux vecteurs en fonction des points de la figure de base, en utilisant les relations vectorielles de l’énoncé et la relation de Chasles. 2 c P.Brachet - www.xm1math.net Seconde - Vecteurs Exemple : Soit ABC un triangle quelconque (c’est la figure de base). On considère les points I, J et K tels que : 1− → − → 3− → −→ 3 − → → − BI = BC ; AJ = AB et AK = AC. 2 2 4 Il s’agit de démontrer que les points I, J et K sont alignés. A B J K I C • Choix des deux vecteurs

elles sont soit sécantes, soit confondues, soit parallèles. Procédons par disjonction de cas : Confondues : A ∈ (AM) et A ∉ (BC). Donc les droites ne sont pas confondues. Parallèles : Si (AM) était parallèle à (BC), le point M serait en dehors du triangle ABC. Or ceci est impossible. Donc elles ne sont pas parallèles. Donc, les droites (AM) et (BC) sont sécantes. Or la droite (AM) coupe le plan (BCD) en un point unique, N. Puisque (BC) ⊂ (BCD) et que que (AM) coupe (BC), le point d’intersection de

coordonnées de semblent bien être 3) On a et donc alignés. 4) a) Le milieu b) Les points , . 5) a) On a : du segment et . Sur le graphique, les : les points , et sont a pour coordonnées . sont alignés car ils ont tous pour abscisse , et ; b) Le triangle est donc quelconque. 6) a) Les points et semblent avoir pour coordonnées et . b) Le quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si les segment milieu. Le milieu de et du point de coordonnées et a pour coordonnées , c’est donc le milieu

Les deux résultats ci-dessous ne sont pas exigibles ! t
Relation d’Al Kashi Soit ABC triangle Alors ( ) BC2 = AC2 + AB2 − 2 × AC × AB × cos AC ; AB soit () a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A en notant BC = a, AC =b et AB = c.  Démonstration a On a : ( )2 = (BA + AC)2 = ( AC − AB)2 = AC2 + AB2 − 2 × ( AC ⋅ AB) = AC2 + AB2 − 2 × AC × AB × coss ( AC ; AB) BC2 = BC Théorème de la médiane BC2 Soit ABC triangle et I milieu de [BC]. Alors : AB + AC = 2AI + . 2 2 2 2  Démonstration a On a : (

sont colinéaires de même sens {draw:frame} b/ le cas où les vecteurs sont colinéaires de sens contraire {draw:frame} Méthode : Utiliser Thalès (version vectorielle) ♦ Principe Théorème de Thalès (version vectorielle) Soit ABC un triangle, soit I un point de (AB) et J un point de (AC) tel que (IJ)//(BC) alors il existe un réel k tel que {draw:frame} {draw:frame} De même pour la réciproque de Thalès. Méthode : Comment montrer que trois points sont alignés ♦ Principe

du levier (des corps s'équilibrent à des distances inversement proportionnelles à leur poids), introduit la notion fondamentale de centre de gravité, et détermine ces barycentres pour les principales figures géométriques planes (parallélogramme, triangle, trapèze, segment de parabole). Il en est de même pour l'anecdote d'Archimède, jaillissant nu de son bain, en criant Eurêka (j'ai trouvé)!!!, parce qu'il venait, dit-on, de trouver le moyen de résoudre le problème que lui avait posé le roi Hiéron;