Valeur propre

le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note (e1 , . . . , en ) une base, et si A est triangulaire dans cette base, il vient Aen = an,nen , ce qui signifie que en est vecteur propre associ´ a la valeur propre an,n. e` On en d´duit que la propri´t´ (P6 ) n’est pas v´rifi´e, car Vect(en ) est un sous-espace de dimension 1, e ee e e stable par tous les ´l´ments de L . ee ee e e I.B.2. La propri´t´ (P1) est v´rifi´e ; par exemple  0  ... 0 .

suffisante pour que deux matrices A et B de Mn (R) vérifient l’égalité exp(A) exp(B) = exp(A + B). II. Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable Soit A ∈ Mn (R) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont : λ1 < λ2 < · · · < λr , où r désigne un entier vérifiant 1 r n. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application

associe à chaque ligne j le disque fermé Dj dont le centre est l’élément diagonal n ajj et le rayon la somme des modules des éléments extra-diagonaux Rj = k=1; k=j |ajk |. Théorème 1.1 “Théorème de Gershgorin”. Avec les notations précédentes : Toute valeur propre λ de la matrice A appartient à l’un au moins des disques de Gershgorin, i.e. : ∀ λ ∈ Sp (A) , ∃ j tel que λ ∈ Dj . De manière équivalente, ce théorème précise que le spectre de A, noté Sp (A), est globalement inclus dans la réunion des disques

Chapitre 2 Contours actifs (II.12) Les valeurs propres de la matrice A s’expriment par [16] : . Dans ce cas / * + (II.13) est valeur propre, ce qui rend la matrice A singulière. Afin de remédier à cette singularité KASS et ses collaborateurs ont proposé une résolution selon un schéma itératif [17]: ( ( Où est un réel strictement positif. ) ) ( ( ) ) (II.14) Le système (II.11) devient : ( ( ) ) ( ( . est sa plus petite valeur propre, ) [17] : ) ) (II.15) est une matrice unité de

de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e  λ1 0   −1 P AP =  0   0 ∗

F est une matrice de M , non scalaire ( b = 0 ) , donc elle est diagonalisable si et seulement si elle admet deux valeurs propres r´elles distinctes e Donc u est diagonalisable si et seulement si α2 + 4β2 > 0 2 Quand a = 3 et b = c = −2 , χU (x) = x2 − x − 2 4 2 , u admet deux valeurs propres doubles -1 et 2 Quand a = 3 et b = c = 1 , χU (x) = (x − 2) , u admet une valeur propre quadruple 2 Probl`me 2 e Soit u : [a, b] → R d´finie par : ∀x ∈ [a, b] , u(x) = ax3 + bx2 + cx + d , o` a, b,

période 1970-1990. Soient deux variables nominales X et Y, comportant respectivement p et q modalités. On a observé les valeurs de ces variables sur une population et on dispose d'un tableau de contingence à p lignes et q colonnes donnant les effectifs conjoints c'est-à-dire les effectifs observés pour chaque combinaison d'une modalité i de X et d'une modalité j de Y. Les valeurs seront notées nij , l'effectif total sera noté N. L'AFC vise à analyser ce tableau en apportant des réponses à des questions

Analyse factorielle : ACP (Matrice de corrélation, KMO, Bartlett, Matrice des composantes, Corrélations reproduites, Tableau et graphique des valeurs propres et carte factorielle) Q1.1 : Faisabilité, 3 indicateur : déterminant, bartlett, KMO Le déterminant doit être proche de 0, sans être nul « il n’est pas nul (peu d’influence des redondances) proche de 0 (possibilité de regroupement en facteur) » Bartlett « signification de Bartlett strictement inférieur au risque (0,005), vérification de

est C 1 et nulle en 0 alors c’est T (g ′ ) . II.1.3 On peut déjà exclure 0 par la question précédente. x Analyse: écrivons l’équation aux valeurs propres: T (f) = λf ssi 0 f (t) dt − λf (x) = 0. La fonction f étant manifestement C 1 on peut dériver d’où f (x)−λf ′ (x) = 0 soit f (x) ∈ vect e λ x . Synthése: T e λ x = λ eλx − 1 = λeλx donc aucune valeur propre... II.2.1 ∀x ∈ [0, 1] , |T (f ) (x)| = 0 f (t) dt ≤ 0 |f (t)| dt ≤ 0 |f (t)| dt ≤ sup[0,1] |f | . Passant au sup pour x ∈ [0, 1] il vient T

  de   diagonale.   Les  éléments   diagonaux   s'appellent   les  valeurs  propres k et leur somme est égale à p : c’est  l’inertie   totale   du  nuage   de   points,   c’est­à­ dire « l’information totale ». A chaque valeur  propre est associé un axe factoriel (ou encore  facteur). Nombre d’axes à considérer On   garde   les   facteurs   les   plus   riches   en  information, ceux associés aux plus grandes  k valeurs propres  k. Un axe k restitue  p %  de l’information totale. Il est d'usage de chercher à retrouver entre 60