Valeur propre

17 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On utilise les mêmes notations qu'au chapitre 16. Les notions de valeurs, vecteurs, espaces propres et de polynôme caractéristique sont supposées connues (voir le chapitre 16). On rappelle que l'ensemble K [X] des polynômes à une indéterminée et à coecients dans un corps commutatif K est une K-algèbre commutative, unitaire et intègre (voir les chapitres 10 et 11). L'anneau K [X] est euclidien, donc principal et factoriel. En particulier

) ) où Γ est la matrice exemple de la partie I. 3 III. Calcul de la distance de A à On ( ! ) A. Théorème de la décomposition polaire 7. Montrer qu’une matrice S de S n ( ! ) appartient à S n + ( ! ) si et seulement si toutes les valeurs propres de S sont positives ou nulles. 8. Si A est une matrice de Mn ( ! ) montrer que la matrice t A A ∈ S n + ( ! ) . 9. Soit A une matrice de Mn ( ! ) , on suppose qu’il existe une matrice diagonale D = diag (d1 , d 2 , ..., d n ) à termes positifs

(partie IV). Résultat de l’ACP (ou AFC) L’application de la méthode ACP nous a permis de retenir 2 axes factoriels. En effet, d’après le critère de Kayser (ce critère préconise de ne retenir les valeurs propres supérieures à 1). Nous avons donc ici deux valeur propres supérieures à 1. Valeur propre Différence Proportion Cumulée 1 4.11495951 2.87623768 0.5879 0.5879 2 1.23872183 0.51290521 0.1770 0.7648 3 0.72581663 0.40938458 0

Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de f. En déduire que f est un automorphisme diagonalisable de Mn(IR). 3) Soit g l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe g (M) = M + tr(M) J, où J désigne une matrice non nulle de Mn(IR) dont la trace est nulle. On admet que g est un endomorphisme de Mn(IR). a) Établir que le polynôme X 2 – 2 X + 1 est un polynôme annulateur de g. b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de g. c) g est-il diagonalisable ? Sujet EDHEC

Formule sommatoire de Poisson L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur R, et L ∗ l’espace vectoriel des fonctions continues f telles qu’il existe α > 1 pour lequel la fonction x → |x|α f (x) est bornée sur R. A. Préliminaires

| |Evelyne |-0,1975 |-0,1115 |0,6559 |0,7223 |2,3778 | On définit ainsi p variables [pic]. La somme des valeurs de chaque colonne est nulle (données centrées, moyenne nulle pour chaque variable). La somme des carrés des valeurs de chaque colonne est 9 (données réduites, donc d'écart type égal à1) Nuage des individus - Inertie du nuage Le nuage des individus est l'ensemble des 9 points correspondant aux

Cramer II-2 Résolution d’un système linéaire non de Cramer IV- Retour aux systèmes linéaires IV-1 Images et noyaux orthogonaux IV-2 Sous espaces propres orthogonaux III- Applicaton aux éléments propres d’une matrice carrée III-1 Définitions d’une valeur propre et d’un vecteur propre associé III-1 Propriétés d’une valeur propre et du sous espace propre associé Chapitre 3 : Projection orthogonale I- Projection - Projection orthogonale I-1 Définitions I-2 Détermination de la projection orthogonale

A= 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que f n’est pas diagonalisable. → 5. D´terminer le vecteur −1 de E v´rifiant : e u e → • −1 est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre λ1 u ea → • la premi`re composante de −1 est l. e u → 6. D´terminer

Concerne l’intervalle de confiance : La loi normale. Cas d’une régression linéaire : L’opération consiste à déterminer un intervalle qui a p chances / 100 de contenir une valeur cherchée quelconque, pour un risque d’erreur alpha égal à(100 – p), p étant le niveau de confiance. Cet intervalle est délimité par 2 droites parallèles et équidistantes de la droite de régression : 3 droites de même coefficient directeur : déterminer l’ordonnée à l’origine ? La distance est définie à partir de l’ecart

rapide exercice 1 1.1.1 ( est valeur propre de f ssi A ( (I n'est pas inversible. En effectuant les opérations L1 ( L2, puis L2 ( L2 ( (3 ( ()L1, on obtient la matrice [pic] ((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace propre associé à pour base (2, 1, 0), pour