Variable aléatoire réelle

* 2) que leur utilité croît avec la richesse et qu'ils ont de l'aversion pour le risque   * 3) qu'il est possible de représenter leurs préférences par des fonctions définies sur les deux premiers moments d'une distribution de richesse aléatoire, à savoir l'espérance et la variance. * Étant donné que la richesse finale d'un individu est déterminée par le rendement de son investissement, cette dernière hypothèse signifie que les préférences des investisseurs peuvent être exprimées sous

en très grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ2 ) de moyenne µ = 900 et d’écart-type σ = 7. a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2 . b. Déterminer l’entier positif h tel que P (900 − h X 900 + h)

zF 1 + (2 + 3)2 zA − zE 4 1 2– 3 = = × =2– 3 zA − zF 8 + 4 3 2 + 3 2 – 3 c. 3) 3) 3 – i(4 – 3) + i + 2 + 3 1+4+4 3+3 B Donc le quotient d. zA − zE est un nombre réel. zA − zF → 1 → A v -1 zA – zE est l’affixe du vecteur EA → zA – zF est l’affixe du vecteur FA z −z Comme le quotient A E est un nombre réel on en déduit que zA − zF → → les vecteurs EA et FA sont colinéaires. Donc les points A, E et F sont alignés. O 0 → u E1 C -1 D -2 -3 F

est consacré à l’étude des modèles dans lesquels la variable expliquée est soumise à une troncature. Sous un formalisme analogue, ces modèles recouvrent deux grands domaines. Le premier s’intéresse aux modèles pour lequel la variable est observée sous forme d’une système de tranches, le cas échéant sur une partie de l’échantillon, le complément étant observé en clair. Un cas particulier est celui du modèle Tobit simple, dans lequel la variable est observée en clair seulement en dessous d’un certain

S Amérique du Nord 3 juin 2010 E XERCICE 1 4 points 1. a. A(1 ; −2 ; 4) B(−2 ; −6 ; 5) C(−4 ; 0 ; −3). −−→ −−→ AB (−3 ; −4 ; 1) ; AC (−5 ; 2 ; −7) or comme aucun de ces vecteurs n’est nul, s’ils étaient colinéaires, on pourrait trouver un seul k réel tel que   −3 = −5k −4 = 2k , or ce système est impossible (trois valeurs de k diffé 1 = −7k rentes). Les points A, B et C ne sont pas alignés. → − b. le vecteur n (1 ; −1 ; −1) est orthogonal à AB car le produit scalaire est → − −−→ −3 + 4 − 1

écriture complexe de r est z ′ − zB = ei 4 (z − zB ) ⇔ z ′ = ei 4 (z − 2 − 3i) + 2 + 3i. π 2 2 +i (10 + i) + 2 + 3i = −2i 2 + 2 + 3i = 2 + 3 − 2 2 i. On en déduit zA’ = ei 4 (−2 − 2i) + 2 + 3i = −2 2 2 2. Les affixes de A’, B et C ont la même partie réelle 2 donc les trois points sont alignés sur la droite d’équation réduite x = 2. 2 BA’ 3 − (3 − 2 2) 2 2 A’ est donc l’image de C par une homothétie de centre B et de rapport k. k > 0 donc k = = = = . BC 3 − (−3) 6 3 Une écriture complexe de cette homothétie

projection : approche géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Représentations graphiques et aide à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Les individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Propriétés asymptotiques des estimateurs de composantes principales . . . . . 3.6 ACP par

Exercice 2 – Soient A, B et C les points d’affixes respectives : a=2, b=3+i et c=2i. Calculer le rapport AB puis déterminer une mesure de l’angle ( Ä ; Ä ). AC AB AC ORAL 10 2 Exercice 1 – a) Déterminer les nombres a, b et c tels que, pour tout x réel : x =ax+b+ c x+2 x+2 1 x2 b) En déduire la valeur de l’intégrale I= ⌠  x+2 dx. ⌡ 0 Exercice 2 – a) Résoudre l’équation différentielle (E) : y′+2y=0. b) Indiquer la solution f de (E) telle que f(0)=3. ORAL 11 Exercice 1 : Pour n☻É, on pose : un

Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera

p(T ∩ V) p(T) = p V (T) × p(V) p(T) = p V (T) × p(V) 1 − p(T) = 0, 97 × 0, 98 1 − 0, 0492 0, 9998 PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. X suit une loi binomiale car • Il n’y a que deux issues : soit V, soit V ; • les tirages sont indépendants ; • p = 0, 02 • n = 10 2. Probabilité qu’il y ait