Variable aléatoire réelle

) = IE(X) + IE(Y ). IE X Y = IE(XY ) = IE(X) IE(Y ). IE(X) . IE(Y ) 9. Soit λ un réel positif. Alors IE(λX) = λ IE(X). si λ = 2, IE(X 2 ) IE(X λ ) = [IE(X)]λ . [IE(X)]2 . 10. Soient X et Y deux VAR. Alors Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Var(X + Y ) = [IE(X) + IE(Y )]2 − IE[(X + Y )2 ]. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2[IE(XY ) − IE(X) IE(Y )]. 11. Une variable de Bernoulli prend deux valeurs a ou b quelconques. les valeurs 0 ou 1. 12. Soit X une VAR d’espérance

méthode de Box-Jenkins avec la méthode de régression. En analyse de régression, nous essayons de trouver les variables causales qui expliquent la série observée. L’hypothèse fondamentale ici est que la boite noire génératrice de y est approximée par une régression linéaire. 1 METHODE DE REGRESSION Boite Noire (Non-Observée) mais Approximée Observée (Output) Input Matrice des Xβ+u Y Variables Causales (X) 2 Méthode de Box-Jenkins φ - 1(L) εt wt at 3 (1-L)- d yt 2.2 Les Processus Stationnaires

) ⇔ z ′ = ei 4 (z − 2 − 3i) + 2 + 3i. 1. Soit r la rotation de centre B et d’angle π On en déduit zA’ = ei 4 (−2 − 2i) + 2 + 3i = −2 2 2 +i (1 + i) + 2 + 3i = −2i 2 + 2 + 3i = 2 + 3 − 2 2 i. 2 2 2. Les affixes de A’, B et C ont la même partie réelle 2 donc les trois points sont alignés sur la droite d’équation réduite x = 2. BA’ 3 − (3 − 2 2) 2 2 A’ est donc l’image de C par une homothétie de centre B et de rapport k. k > 0 donc k = = = = BC 3 − (−3) 6 2 . 3 Une écriture complexe de cette homothétie

méthode 22 2.2.3 Lissage exponentiel de Holt-Winters 22 2.3 Prévision par la méthode de Box & Jenkins .25 2.3.1 Concepts des séries chronologiques 25 2.3.1.1 Processus stochastique 25 2.3.1.2 Processus aléatoires stationnaires 25 2.3.1.2.1 Caractéristiques d'un processus aléatoire stationnaires ..26 2.3.1.3 Les opérateurs de Box & Jenkins 28 2.3.1.3.1 Les effets des opérateurs de Box & Jenkins 29 2.3.2 Les processus ARMA 30 2.3.2.1 Le théorème de décomposition de Wald 30 2.3

E3 E3 E2 E2 E1 E3 E3 E3 E3 E3 1. On appelle : E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ». On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a. On joue 3 parties donc X peut prendre pour valeurs 0, 1, 2, 3. E2 b. P ( X = 2 ) = P ( E1 ∩ E2 ∩ E3 ) + P ( E1 ∩ E2

sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J , où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres µ et σ. Il apparaît que µ = 358 jours. J − 358 suit la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire σ la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1. 1. D’après le cours, la variable aléatoire X = 2. On sait que P (J J 385) = 0,975. 385 ⇐⇒ J

E3 (X = 2) E2 E3 (X = 2) 0, 95 E3 (X = 1) 0, 8 0, 1 E2 0, 05 E3 (X = 2) 0, 9 E1 0, 95 0, 05 E3 (X = 1) E2 E3 (X = 1) 0, 95 1. Représentons un arbre : (voir ci-dessus) E3 (X = 0) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. a. X peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3. b. (X = 2) = (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc

la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif . PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10

un ≤ f ( n ) . c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = ln ( x + 3 ) 2 . a. Justifier la dérivabilité de F sur [ 0 ; + ∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' x ) . ( 2 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Terminale S Pondichéry, Avril 2007 Sujets de Bac b. On pose, pour tout entier naturel n, In = n 0 f ( x ) dx . Calculer In . 4. On pose

conditionnelle de A sachant que B est p ( A  B) réalisé : pB  A   p( B ) Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de  alors p  A  =p  A  B1  +p  A  B 2  +...+p  A  B n  Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1 n Espérance mathématique : E  x    pi xi i 1 Fonction de répartition : F x   P  X  x  2 Variance : V  x    pi  xi  E  x     pi xi2   E  x   i 1 i 1