Variable aléatoire réelle

XERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats Partie A Restitution organisée des connaissances L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P −χα X χα = 1 − α. Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par f (t ) = Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[

= −3 y0 = 4 1. x n+1 = 0, 8x n − 0, 6y n et pour tout entier naturel n : y n+1 = 0, 6x n + 0, 8y n a) Déterminer les coordonnées des points A 0 , A 1 et A 2 . b) Pour construire les points A n ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant : Variables : i , x, y, t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur −3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 20 Construire le point de coordonnées (x; y) t prend la valeur x x prend la valeur .......... y prend la valeur ..........

Difficultés – Profil de mission représentatif et réalisable techniquement – Coefficients de sévérisation • Valider les résultats expérimentaux et les relier à la fiabilité prévisionnelle Z. Cherfi 7 FIABILITE • Au niveau opérationnel:(suivi réel du produit en utilisation) – Organisation: • Collecter • Traiter • Analyser – Données fiables: • Environnement • Conditions d ’utilisation Z. Cherfi • Politique de maintenance 8 FIABILITE • Exploitation des résultats: – Améliorer la

terminale de série générale. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves de la série ES parmi les 10 élèves choisis. La probabilité de choisir un élève de ES est 0,33 et on admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que les choix des 10 élèves soient assimilés à des tirages indépendants avec remise. On peut donc dire que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,33. Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres

électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre A où X est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout t ( 0, P(X ( t) = [pic]. La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +([ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité. 1. Restitution organisée de connaissances a. Démontrer que pour tout t ( 0 on a R(t) = e-(t. b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout réel s > 0, la probabilité

choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3

une technique de mesure par échantillonnage aléatoire. Elle a été adaptée aux besoins de l’industrie et popularisée à partir des années 1920. Elle consiste à évaluer rapidement, à des moments aléatoires dans le temps, les paramètres observables ou mesurables d’une situation de travail, ou à moments périodiques, si la situation est aléatoire. On peut donc la comparer au grab sampling utilisé en hygiène du travail. Elle peut être appliquée en temps réel ou en temps différé, par exemple sur une vidéo

3172 1,4572 Blanc 1 2009-03-09 Contexte 3 [3+3 points] Le tableau suivant présente les distributions marginales de deux variables, X et Y, définies sur une population d’employés (les fréquences conjointes ne sont pas indiquées) Y : Classe d’employé Cadre Commis Femme Homme X : Sexe 0,3 0,4 0,6 1 0,7 Supposez que les variables X et Y sont indépendantes. Déterminer, sous cette hypothèse, 6 le pourcentage de femmes parmi les cadres [en d’autres termes, si x

Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010 Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010 Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010 Séance 4 : Variables aléatoires Semaine du 1er au 5 novembre 2010 Séance 5 : Loi binomiale Semaine du 8 au 12 novembre 2010 et interrogation Difficulté des exercices : * Très simple ** Simple *** Moyenne **** Avancée Séance 1 : Dénombrement

empiriques. 3.1. METHODES D’ECHANTILLONNAGE PROBABILISTES 3.1.1. Echantillonnage aléatoire et simple Un échantillonnage est aléatoire si tous les individus de la population ont la même chance de faire partie de l’échantillon; il est simple si les prélèvements des individus sont réalisés indépendamment les uns des autres. En particulier, si la population est finie, cette définition correspond au tirage aléatoire avec remise, qui permet de traiter les populations finies comme des populations infinies