Variable aléatoire réelle

Donc h est positive sur R. 2. Soit x 2 R, H 0 (x) = 3 2e ⇥ 2 1+e = 3e 2x 1 + e 2x et 2x 2x 3 3e 2x = = H 0 (x). 1 + e 2x 1 + e 2x Donc, pour tout x 2 R, h(x) = H 0 (x). Donc H est une primitive de h sur R. h(x) = 3 f (x) = 3 3. Soit a un réel strictement positif. R (a) 0a h(x)dx est l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de h et les droites d’équations x = 0,x = a et y = 0. (b) Ra Ra 0 0 h(x)dx = 0 H (x)dx [H(x)]a0 = = 3 ln(1 + e 2 = 3 2 2a ) + ln(1 + e 3 ln(1

d’extinction du processus est solution de θ = E(θD ) = F (θ), ou F est la fonction génératrice de D. On a en fait plus précis : Théorème 1.2. La probabilité q d’extinction du processus de branchement est le plus petit point fixe de F . Si la variable aléatoire Z possède une espérance m, et que m ≤ 1, alors 1 est le seul point fixe de F sur l’intervalle [0; 1], et la probabilité d’extinction est 1. Sinon, F admet exactement un point fixe sur [0; 1[, qui est la probabilité d’extinction du processus

= = 1 . P(A) 1 + 2r 3 (1 + 2r ) 2. a. L’expérience consiste en une répétition de 400 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, où la probabilité de « succès » (c’est-à-dire que l’étudiant ait la bonne réponse) est égale à P(A). La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = P(A) = 31 (1 + 2r ). 30, n f 5 et n(1 − f ) b. On a n = 400 et f = 240 400 = 0,6, donc n confiance au seuil de 95 % de l’estimation de p est donc : f− 1 n ; f+ 1 n 5, un intervalle

chacune d'elles. 4. Répondre aux questions suivantes : (a) Donner une équation de la tangente à la courbe C en son point A d'abscisse 1 e . (b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe 5. Indiquer pour quelles valeurs du réel (a) ne possède aucune solution ; (b) possède une solution unique ; (c) possède deux solutions distinctes. C en son point B d'abscisse e. k l'équationf (x) = k: (Aucune justication n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider

2 Remarque importante sur les calculs de variance et d’écart type........ 3 L’écriture de quelques fonctions utiles ............................................................. 5 2.1 Tableau de calcul, espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire discrète................................................................ 5 2.2 Texte des fonctions tab et espvar................................................................ 6 Utilisation en Statistiques : régression linéaire ...........

trois propositions ci-dessus n’est correcte. INTERPRETATION GRAPHIQUE Ci-dessous les courbes C et S représentant respectivement les fonctions définie sur ℝ - {3} et définie sur ℝ Page 3 sur 11 CONCOURS AVENIR – 8 MAI 2014 9. est : a. b. c. un réel d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte. 10. Le nombre de solutions de l'équation a. 0 b. 1 c. 2 d. est : 11. Le nombre de solutions de l'équation a. b. c. 2 d. 3 est : 12. Le nombre de solutions de l'équation a. 0 b. 1 c. 2

parait aussi nécessaire d’étudier avec soin les coûts qu’ils lui sont appropriés pour chaque cas. I- PROBLEMATIQUE : Dans ce projet, nous allons mettre l’accent sur l’étude d’une file d’attente qui se constitue dans un organe de service variable .Les clients (navires) appartiennent à deux classes distinctes, l’une d’entre elles étant prioritaire .le service est effectué dans l’ordre des arrivées à l’intérieur de chaque classe et dès que possible. Dans la majorité des systèmes

distinctes r1 = −1 et r2 = 4. Les solutions de l’équation différentielle (E0 ) sont alors les fonctions définies sur R par : y(x) = λe−x + µe4x avec λ et µ réels. 2. On a, pour tout x ∈ R, h(x) = xe−x . Par dérivation, on obtient pour tout x réel : h′ (x) = e−x − xe−x ⇔ h′ (x) = (1 − x)e−x . et h′′ (x) = −e−x − (1 − x)e−x ⇔ h′′ (x) = (x − 2)e−x . En reportant dans (E), on obtient : h′′ (x) − 3h′ (x) − 4h(x) = (x − 2)e−x − 3(1 − x)e−x − 4xe−x = (x − 2 − 3 + 3x − 4x)e−x = −5e−x . h est

limites en 1 et en +∞. 2. a. Déterminer x→+∞ [f(x) – lnx]. Interpréter graphiquement cette limite. lim 2. b. Préciser les positions relatives de Cf et Γ. 3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe Cf passant par le point O. a. Soit a un réel de ]1 ; +∞[. Démontrer que la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si, et seulement si, f(a) – a f’(a) = 0. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par g(x) = f(x) – x f’(x). b. Montrer que sur ]1 ; +∞[

Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Exercice 1 Commun tous les candidats 4 points 1. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale est np. Ici 10 E(S n ) = np = 10 donc p = . Si S n est la variable aléatoire totalisant le nombre n 10 n−k 10 k 1− pour 0 d’accidents, on a P(S n = k) = n p k (1 − p)k = n k k n n k n. 10 n . 2. a. On en déduit que [P(S n = 0)] = n p 0 (1 − p)n = 1 − 0 n En supposant n > 10, on obtient, en prenant le logarithme ln [P(S n = 0)] = 10 10 ln