Zéro

l'implication x + a = y + a ==> x = y N.B. cette propriété ne repose pas sur la soustraction et c'est au contraire la définition de la soustraction qui va en découler. Neutralité de zéro : pour tout x on a l'égalité : x + 0 = x N.B. La commutativité dispense de mentionner une "régularité à droite et à gauche" de même que la neutralité de zéro "à droite et à gauche". Lien avec l'ordre : a + b = c ==> a c et b c Inversement, si on a deux nombres x et y tels que x y alors on peut affirmer qu'il existe z tel

c'est-à-dire inverser les positions des chiffres de N. Ecrire une analyse, un algorithme et sa traduction en pascal d’un programme qui permet de calculer et d’afficher le nombre inverse de N (On suppose qu’il est formé de 4 chiffres avec l’unité différent de zéro) Exemple : N= 1981 NR =1891 EXERCICE 5 Ecrire une analyse, un algorithme et sa traduction en pascal d’un programme qui permet d’afficher le résultat d’une permutation circulaire de droite à gauche de trois caractères donnés. EXERCICE 6 Ecrire un

Donc g est strictement décroissante sur ]-[pic] ; 0 ] et strictement croissante sur [0 ; +[pic][ . Alors g(0) est le minimum de g sur R. Or g(0) = 0 donc g est positive sur R. (Donc la courbe représentative de exp est au-dessus de sa tangente en zéro sur R avec un point de contact bien sûr) Alors : exp(x) [pic] x + 1 sur [0 ; +[pic][. Or : [pic]+ [pic] donc par comparaison : [pic]=+ [pic]. Ex : Mq : ex [pic] 1+ x + [pic] En - [pic] : Posons X = -x. x tend vers -[pic]équivaut

 si et seulement si le rapport  f (a + h) − f (a) h  tend vers un nombre réel lorsque  h  tend vers zéro. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de  f  en  a  et se note  f ′(a) . Exemple Calculons le nombre dérivé de la fonction  f : x ↦ x2  pour  x = 1 .   f (1 + h) − f (1) (1 + h)2 − 12 = 2h + h2 =2+h h h Or quand  h  tend vers  0 ,  2 + h  tend vers 2; donc  f ′(1) = 2 . h = Interprétation graphique Lorsque  h  se rapproche de zéro, le point  B  se rapproche du point  A  et la droite  (AB)  se rapproche de la

16 septembre 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie 1 : Étude de la fonction f 1. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f (x) est celui de 1 − ln x. Or 1 − ln x > 0 ⇐⇒ 1 > ln x ⇐⇒ ln e > ln x ⇐⇒ e > x par croissance de la fonction ln. On a donc : f (x) > 0 ⇐⇒ 0 < x < e ; f (x) < 0 ⇐⇒ x > e. x→0 6 points f (x) = 0 ⇐⇒ x = e ; 2. • Au voisinage de zéro : f (x) = x − x ln x. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = 0. x→0 • Au voisinage de plus l’infini : On a lim x

« sifr » qui veut dire « vide », « zéro » vient également de ce même mot arabe. 0 XII 12 I 1 XIII 13 II 2 XIV 14 III 3 XV 15 IV 4 XVI 16 V 5 XVII 17 VI 6 XVIII 18 VII 7 XIX 19 VIII 8 XX 20 IX 9 XXI 21 X 10 L 50 XI 11 C 100 M Les arabes ont traduit de nombreux textes grecs. Ils ont aussi introduit l’usage du zéro, des chiffres « arabes » et de l’algèbre

positifs, le signe « + » n’est pas obligatoire. (+ 25 s’écrit souvent 25). Sur la calculatrice le nombre –8 se tape (-) 8 Définition On appelle distance à zéro (ou partie numérique) d’un nombre relatif le nombre sans son signe. Quatrième MATHEMATIQUES -44MA – 0808 - EAD COURS Exemples : Définition SERIE 2 36 est la distance à zéro de + 36 et de – 36. 1ère leçon Deux nombres qui ont la même partie numérique mais qui sont de signes différents sont dits opposés. Exemples : + 36 et

............................................................... Fractions égales Propriété : La valeur d'une fraction ne change pas si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre différent de zéro : et formule ( b et k doivent être différents de 0) Exemple : Quotient de deux nombres décimaux Pour effectuer des divisions avec des nombres décimaux, il est conseillé de se « débarasser » des virgules : Exemple : En

y =3 x −1 2 x 3  3 x −1  = 8 on réduit l'autre équation y =3 x −1 11 x =11 ⇔ { x =1 y =3 ×1−1=2 la solution est le couple  1 ; 2 Par combinaison: { { 2 x 3 y =8 3 x − y =1 le déterminant ( = -11) est différent de zéro donc le système admet une solution 2 x 3 y =8 3 x − y =1 ×1 × 3 On transforme chaque équation en multipliant ses 2 membres par un nombre bien choisi de manière à obtenir une inconnue avec des coefficients opposés dans les 2 équations. ⇔

limx→+∞exxn=+∞ et limx→+∞lnxxn=0 n entier naturel non nul Taux d’accroissement • Taux d’accroissement en zéro de la fonction exponentielle népérienne, On a : limx→0ex-1x=1 Cela signifie que la fonction exponentielle est dérivable en zéro et que le nombre dérivé en ce point vaut 1. Interprétation géométrique : la tangente à la courbe au point d’abscisse zéro est parallèle à la première bissectrice, c’est-à-dire la droite d’équation y = x. • Taux d’accroissement en 1 de la fonction