Séquence 6
Ensemble des nombres complexes
Sommaire
Prérequis
Définition – Forme algébrique
Forme trigonométrique
Synthèse

Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient l’ensemble R des nombres réels et dans lequel les carrés peuvent être négatifs.

Séquence 6 – MA02

1

© Cned - Académie en ligne

1 Prérequis
A

Équation du second degré dans »
Les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0 et x est un nombre réel.

Théorème

Tout trinôme du second degré ax 2 + bx + c avec a ≠ 0 peut s’écrire sous la forme  b 2 ∆  ax 2 + bx + c = a   x +  − 2  où ∆ = b 2 − 4ac .
2a 
4a 


Théorème

Résolution dans

R de l’équation ax 2 + bx + c = 0

∆>0

∆=0

Deux solutions :

x1 =

B

∆<0

Une solution :

−b − ∆
−b + ∆ et x 2 =
2a
2a

α=

Pas de solution

−b
2a

Géométrie
ᕡ Longueur de la diagonale d’un carré, de l’hypoténuse d’un rectangle isocèle.

C

a 2

A

a

B

a

(

)

ᕢ Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; u , v .

t
L’équation ax + by + c = 0 avec (a ; b ) ≠ ( 0 ; 0 ) est une équation de droite.

t
La distance des points M0 ( x 0 ; y 0 ) et M( x ; y ) est égale à

( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 .
2
2 t
L’équation ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) = R 2 est une équation du cercle de centre
Ω ( x 0 ; y 0 ) et de rayon R.
M0M =

Séquence 6 – MA02

3

© Cned - Académie en ligne

Exemple A
̈

Solution

Montrer que l’ensemble E ayant pour équation x 2 + y 2 − 4 x + 2y = 0 est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
On transforme l’équation donnée pour faire apparaître ( x − x 0 ) et ( y − y 0 ) .
On a les équivalences :
2

2

( )( ) ⇔ ( x 2 − 4 x + 4 ) + ( y 2 + 2y + 1) − 5 = 0

x 2 + y 2 − 4 x + 2y = 0 ⇔ x 2 − 4 x + y 2 + 2y = 0

⇔ ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = 5.

La dernière équation permet de reconnaître que l’ensemble E est le cercle de centre Ω ( 2 ; − 1) et de rayon 5.
ᕣ Formules de trigonométrie
Définition

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; OI, OJ), on considère un cercle