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M´thodes it´ratives pour la r´solution d’un e e e syst`me lin´aire e e

Dans cette partie, on s’int´resse essentiellement ` la r´solution, e a e par des m´thodes it´ratives, d’un syst`me lin´aire e e e e Ax = b avec A ∈ Mn (K) inversible et b ∈ K n . Notons que la r´solution d’un tel syst`me par des m´thodes e e e directes (Gauss, factorisation LU , Cholesky, ...) a ´t´ vue en ee ANI et la r´solution par la m´thode de Householder est donn´e e e e au chapitre 5. Concernant les m´thodes it´ratives, les m´thodes de Jacobi et e e e de Gauss-Seidel ont ´t´ ´galement vues en ANI, mais vont ˆtre eee e bri`vement rappel´es avant de passer avec plus de d´tails ` la e e e a m´thode de relaxation qui rep´sente une g´n´ralisation de la e e e e m´thode de Gauss-Seidel. e 1.1 M´thodes it´ratives: Approche g´n´rale e e e e (1)

Les principales m´thodes it´ratives sont bas´es sur une d´composition e e e e de la matrice A du syst`me sous la forme e A=M −N (2)

avec M inversible et d’inverse assez facile ` calculer. Le a syst`me (1) s´crit alors e e Mx = Nx + b ou encore x = M −1 N x + M −1 b (4) (3)

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qui est ` l’origine du sch`ma it´ratif suivant a e e  (k+1) = M −1 N x(k) + M −1 b x x arbitraire qui s’´crit ´galement e e  (k+1) = Bx(k) + c x  (6) x
(0)



(5)
(0)

arbitraire

avec B = M −1 N = I − M −1 A et c = M −1 b. Le sch`ma it´ratif converge si et seulement si x(k) −→ x e e lorsque k −→ +∞. En notant ek l’´cart entre x et x(k) , i.e. e ek = x − x(k) on a ek+1 = x − x(k+1) = (Bx + c) − (Bx(k) + c) = B(x − x(k) ) = Bek ... = B k ek et ce processus it´ratif converge si et seulement si e ρ(B) = ρ(M −1 N ) < 1 ⇐⇒ B k −→ 0

(7)

(8)

0 ´tant la matrice identiquement nulle. Dans ce cas, on a e pour toute norme induite . ek+1 = ≤ B k e1 Bk e1 −→ 0 lorsque k −→ +∞ (9)

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1.2

M´thode de Jacobi e

Notons d’abord que cette m´thode (mˆme chose pour celles de e e Gauss-Seidel et de relaxation) s’applique ` des matrices A = a (aij )1≤i,j≤n