Symbole de sommation
Définition. — Soient ap , . . . , aq des nombres réels avec p, q ∈ N, p < q. On note : q k=p

ak = ap + ap+1 + · · · + aq−1 + aq

Remarque. — La variable k est l’indice de sommation ; c’est une variable muette. Le choix de la lettre est arbitraire, celle-ci pouvant être remplacée par une autre.
Ainsi
q

q

ai .

ak = i=p k=p

Exercice 1. — Écrire sans le symbole

les sommes suivantes :

4

7

k3

S1 =

S2 = i=3 k=1

Exercice 2. — Écrire avec le symbole

4

i
(i + 1)2

S3 = p=2 x(1 − x)2p

les sommes suivantes :

a11
32007
a2 a3 1 3 32
+
·
·
·
+
+ + +· · ·+
S3 =
+
1 2 3
2008
1 − 2a 1 − 2a2
1 − 2a10
Propriété. — Soient ap , . . . , aq , bp , . . . , bq des nombres réels avec p, q ∈ N, p < q, et α, β ∈ R. On a :
S1 = 74 + 75 + · · · + 713

S2 =

q

q

q

k=p

k=p

k=p

bk .

ak + β

(αak + βbk ) = α

Propriété (relation de Chasles). — Soient ap , . . . , aq des nombres réels avec p, q ∈ N, p < q et n ∈ N. On a: q+n

q

ak = k=p q+n

ak .

ak + k=p k=q+1

Propriété (changement d’indice). — Soient ap+n , . . . , aq+n des nombres réels avec p, q ∈ N, p < q et n ∈ N.
On a : q+n q

ak ,

ai+n = i=p k=p+n

en posant k = i + n.
Exercice 3. — Simplifier les sommes en effectuant les changements d’indice indiqués :
10

k=3

k2 + 1
, i=k−2 k−2 6

(2k + 5)xk+7 , i = k + 7 k=0 99

Exercice 4. — Calculer la somme : k=1 1
1
− k k+1

Suites numériques

II.3
II.3.1

Limite d’une suite
Définitions

Définition II.3.1. — Soit (un )n∈N une suite.
La suite (un )n∈N est dite convergente s’il existe un réel ℓ tel que un est aussi proche de ℓ que l’on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
On dit que ℓ est la limite de la suite (un )n∈N ou que la suite (un )n∈N converge vers ℓ. On note lim un = ℓ. n→+∞ La suite (un )n∈N est dite divergente si elle ne converge pas.
Définition II.3.2. — Soit (un )n∈N une suite.
La suite (un )n∈N a pour limite +∞ ou diverge vers +∞ si un est aussi grand que l’on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
On note lim un = +∞.