TD d’intégration
Intégration numérique
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan

Généralités
1

Principe des méthodes numériques

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour calculer l’intégrale ab f (x)dx. On choisit tout d’abord une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b du segment [a, b]. La formule de de Chasles donne k−1 b

ai+1

f (x)dx.

f (x)dx = a ai

i=0

On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit segment [ai , ai+1 ]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées du type : li ai+1

f (x)dx ≈ ai ωi,j f (ξi,j ),

ξi,j ∈ [ai , ai+1 ].

j=0

Le problème est de choisir convenablement les points ξi,j et les coefficients ωi,j de façon à minimiser l’erreur. La méthode de quadrature sera k−1 li

b

f (x)dx ≈ a ωi,j f (ξi,j ). i=0 j=0

Définition 1 On dit qu’une méthode de quadrature est d’ordre N si la formule approchée est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à N et inexacte pour un polynôme de degré N + 1.

2

Exemple : la méthode de Newton-Cotes

Dans la méthode de Newton-Cotes de rang l, on prend li = l pour tout i et les points ξi,j sont les points équidistants ai+1 − ai ξi,j = ai + j
,
0 ≤ j ≤ l. l Pour l’étude de la formule de quadrature sur le segment [ai , ai+1 ], on se ramène par changement de variable au segment [−1, 1] subdivisé en les points ξj = −1 + j 2l . On approche alors l’intégrale d’une fonction continue g définie sur [−1, 1] par l’intégrale du polynôme d’interpolation pg de degré l :
1

1

g(x)dx ≈
−1

i.e., en posant Lj (x) =

−1

pg (x)dx,

x−ξk k=j ξj −ξk ,
1

l

1

j=0

−1

g(x)dx ≈
−1

1

Lj (x)dx g(ξj ).

Proposition 1 Si l est pair, l’ordre de la méthode de Newton-Cotes est l + 1, son ordre est l sinon.
Ainsi, dans la pratique, hormis le cas l = 1, cette méthode n’est utilisée que pour l pair :
– l = 1 : méthode des trapèze (ordre 1) :
1

g(x)dx ≈ g(−1) + g(1).
−1

– l = 2 : méthode de Simpson (ordre 3) :
1