Logique et raisonnement
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I. Éléments de logique
1. Propositions
Définition 1. On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux. Remarque 1. 1. Si P est une proposition, on écrit P pour dire « P est vraie ». 2. Si P (x) est une proposition dépendant de x, elle sera vraie ou fausse suivant les valeurs de x : soit E un ensemble, on écrit « ∀ x ∈ E, P (x) » pour dire que « P (x) est vraie pour toute valeur de x dans l’ensemble E ». Exemples 1. 1. La proposition ∀ x ∈ R, x2 ≥ 0 est vraie. 2. La proposition ∀ x ∈ R, x2 > 0 est fausse.

2. Opérations sur les propositions
Définition 2. Soient P et Q deux propositions. On définit les propositions suivantes : ∗ la négation de P , notée P qui est vraie si P est fausse et réciproquement. ∗ la proposition « P ou Q » qui est vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie, fausse sinon, ∗ la proposition « P et Q » qui est vraie si les propositions P et Q sont simultanément vraies, fausse sinon. Remarque 2. Attention : le ou mathématique est inclusif contrairement au « ou »,qui peut être exclusif : « le mardi à 14h, vous avez math ou bio ? ». Proposition 1. Soient P et Q deux propositions. Alors, 1. La négation de « P ou Q » est « P et Q ». 2. La négation de « P et Q » est « P ou Q ». Remarque 3. Lorsque l’on écrit la négation d’une proposition avec quantificateurs, on remplace le quantificateur ∀ par un quantificateur ∃ et inversement. 1. La négation de : ∀ x ∈ E, P (x) est : ∃ x ∈ E, P (x). 2. La négation de : ∃ x ∈ E, P (x) est : ∀ x ∈ E, P (x). Exemples 2. Soit E un ensemble de réels. 1. La négation de la proposition : ∀ x ∈ E, x ≤ 2 est la proposition : ∃ x ∈ E, x > 2.

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Lycée CHATEAUBRIAND - BCPST 1B
2. La négation de la proposition : ∃ x ∈ E, x > 1 est la proposition : ∀ x ∈ E, x ≤ 1. 3. La négation de la proposition : ∀x ∈ E, 1 < x ≤ 2 est la proposition : ∃x ∈ E, x ≤ 1 ou x > 2.

Exercice 1. Écrire mathématiquement les propositions suivantes et leur négation : 1.