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EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES EXPONENTIELLES ET LES LOGARITHMES

Exercice 1 Courbes de Gauss Soit k Î  * . On définit, sur , la fonction Gk par : + Gk(x) = e - kx 1. Étudier la parité de Gk. 2. Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de Gk. 3. Calculer G¢¢ et résoudre l'équation G¢¢ (x) = 0. k k 1 4. Tracer les courbes de Gk pour k = , 1 et 2. 25. Démontrer que : h  k Û Gh  Gk sur  1 6. Dans cette question k = . Soit a la solution positive de l'équation G¢¢ (x) = 0. k 2 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de Gk au point d'abscisse a. Tracer T sur le graphique.
2

Exercice 2 Quadrature de l'hyperbole Soit H la courbe représentative de la fonction ¦ définie sur  * par : + 1 x (H est une branche d'hyperbole) x a Pourtout t Î [1, +¥[, on note S(t) l'aire du domaine : 1 } x Il s'agit de l'aire situé entre l'axe des abscisses, l'hyperbole H et les droites d'équations x = 1 et x = t. D(t) = {M(x, y) tels que 1  x  t et 0  y  1. Soit t Î [1, +¥[. Démontrer que pour tout h > 0 : 1 S (t + h) - S (t ) 1   t+h h t 1 S (t + h) - S (t ) 1   t h t+h (On pourra interpréter et encadrer l'aire S(t + h) - S(t) parcelle de deux rectangles) 2. En déduire que la fonction S est dérivable au point d'abscisse t. Que vaut S'(t) ? 3. Soit ¦ la fonction définie sur [1, +¥[ par : ¦(t) = S(t) - ln t a. Montrer que ¦ est constante. b. Calculer ¦(1) et en déduire que, pour tout t Î [1, +¥[ : S(t) = ln t

Et pour tout h < 0 (tel que t + h reste strictement positif) :

Exercices sur les exponentielles et leslogarithmes

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Exercice 3 Constante d'Euler On appelle "série harmonique" la suite (Hn) définie pour n Î * par : Hn =

åk
k =1

n

1

On sait que cette suite diverge (voir le cours sur les suites). 1. a. Tracer dans un repère la courbe de la fonction ln. b. Calculer H1, H2, H3, H4 et H5. Placer les points de coordonnées (n, Hn) (pour n = 1, ..., 5)dans le repère. c. Que constate-t-on ? On considère la suite (un) définie pour n Î *, par : un = Hn - ln n = Nous allons prouver que la suite (un) converge. 2. Démontrer que, pour tout x Î ]-1, +¥[, on a : ln(1 + x)  x Et que pour tout x Î ]-¥, 1[ : 3. a. Démontrer que pour tout n Î * : 1 ln(n + 1) = ln n + ln æ 1 + ö ç ÷ è nø b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n  2, on a : lnn  c. En déduire que la suite (un) est positive. 4. a. Démontrer que, pour tout entier n  2, on a : un - un-1 = b. En déduire le sens de variation de la suite (un). 5. Déduire des questions précédentes la convergence de la suite (un). La limite de la suite (un) , notée g, s'appelle la constante d'Euler (g  0,577). 1 1 + ln æ 1 - ö ç ÷ n è nø ln(1 - x)  -x

åk
k =1

n

1

- ln n

åkk =1

n -1

1

Exercice 4 Série harmonique alternée Soit (Sn) la suite définie, pour n Î * par : Sn =

å

( -1) p -1 p p =1
n

Le but de cet exercice est de démontrer que la suite (Sn) converge vers ln 2. 1. Calculer S1, S2, S3 et S4. 2. On considère les suites (un) et (vn) définie par : un = S2n et vn = S2n+1 Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.

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On note l leur limite commune. Démontrer que (Sn) converge aussi vers l. 3. Dans cette question, x Î +. a. Démontrer que :

å
k =1

2n

(- x )k -1 =

1 - ( - x) 2 n 1+ x

b. Soit ¦ la fonction définie sur + par : ¦(x) = ln(1 + x) -

å

(-1)k -1 x k k k =1
2n

Calculer la dérivée ¦' de ¦ etpréciser son signe sur +. En déduire le sens de variation de ¦ sur +. Calculer ¦(0). En déduire que pour tout x Î + :

å

(-1)k -1 x k  ln(1 + x) k k =1
2n

c. Démontrer par une méthode analogue à la question précédente que pour tout x Î + : ln(1 + x)  d. En déduire que pour tout n Î * : un  ln 2  vn Puis que : l = ln 2
2 n +1

å
k =1

(-1) k -1 x k k

Exercice 5 Quelques...
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