Math´ ematiques Fondamentales

G. Chiavassa, T. Le Gouic, J. Liandrat, T. Luks,
M. Roche, F. Schwander

Nom de l’enseignement : Cours et TD
Code enseignement : MAT-1

1`ere ann´ee
2014/2015

Chapitre 1
Analyse Complexe
L’objectif de cette partie du cours est l’´etude des fonctions de variable complexe z ∈C
I . Nous verrons que ces fonctions poss`edent des propri´et´es tr`es particuli`eres qui n’existaient pas pour les fonctions de la variable r´eelle.
Le champ d’application de cette th´eorie est immense tant en math´ematique
(calcul d’int´egrales, transform´ees de Fourier,...) qu’en physique (transformations conformes, transform´ee de Laplace,...).
Ce document regroupe les r´esultats principaux qui seront pr´esent´es, comment´es et ´eventuellement d´emontr´es en cours.

Notations
Variable complexe : z = x + iy (x, y) ∈ IR2 .
Ω : un ouvert de IR2 .
La fonction f d’une variable complexe peut s’´ecrire de 3 fa¸cons diff´erentes :
a) f : z ∈ Ω ⊂ C
I −→ f (z) ∈ C
I
2
b) f : (x, y) ∈ Ω ⊂ IR −→ f (x + iy) ∈ C
I
2
c) f : (x, y) ∈ Ω ⊂ IR −→ R(x, y) + i I(x, y) avec R(x, y) = Re(f ) et I(x, y) = Im(f ).

D´ efinition 1
On appelle fonction holomorphe toute fonction f v´erifiant l’une des trois propri´et´es ´equivalentes suivantes :
1)
f (z + δz) − f (z)
= f (z) finie
∀z ∈ Ω lim δz→0 δz et telle que l’application z −→ f (z) soit continue sur Ω.
(f est appel´ee d´eriv´ee de f ).
1

2) f (x, y) = f (x + iy) est de classe C 1 (Ω) et
∂f
∂f
+i
= 0.
∂x
∂y
3) f (x, y) = R(x, y) + i I(x, y) est de classe C 1 (Ω) avec
∂R
∂I
=
∂x
∂y

et

∂R
∂I
=− .
∂y
∂x

(Conditions de Cauchy-Riemann).
Remarques :
– On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω.
– Si f, g ∈ H(Ω) alors f + g, f g, f /g (g = 0 sur Ω) sont holomorphes et de d´eriv´ees f + g , f g + f g , (f g − f g )/g 2 .
– f (z) = az, a ∈ C
I , est holomorphe sur C
I et f (z) = a. n ∗ f (z) = z , n ∈ IN est holomorphe et f (z) = nz n−1 . si f ∈ H(Ω) alors f n (z) ∈ H(Ω) (n ∈ IN ) et sa d´eriv´ee est nf n−1 (z)f (z).

On va