Sujet de bac

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[Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009\
EXERCICE 1 7 points
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l’intervalle
[0 ; +∞[ par :
f (x) = xe−x2
.
On désigne par C la courbe représentative
de la fonction f dans
un repère orthonormal ³O, −→ı , −→ ´ du
plan. Cette courbe est représentée cicontre.
→−ı 1 2
−→
O
1
Partie A
1. a. Déterminer la limite de la fonction fen +∞.
(On pourra écrire, pour x différent de 0 : f (x) =
1
x ×
x2
ex2 ).
b. Démontrer que f admet un maximum en
p2
2
et calculer cemaximum.
2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction
de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses
et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.
Quelle est la limite deF(a) quand a tend vers +∞?
Partie B
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
un =Zn+1
n
f (x)dx.
On ne cherchera pas à expliciter un.
1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1
f (n +1)6un 6 f (n).
b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2 ?
c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?
2. a. Vérifierque, pour tout entier naturel strictement positif n, F(n) =
n−1
Xk=0
uk .
b. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemême
non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de F(n) obtenues à l’aide d’un tableur,
pour n entier compris entre 3 et 7.
n 3 4 5 6 7
F(n) 0,499 938 295 1 0,499 999 943 7 0,5 0,5 0,5Interpréter ces résultats.
A. P.M. E. P. Baccalauréat S
EXERCICE 2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ³O, −→u , −→v ´. On prendra
pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d’affixes respectives :
a = 3−i, b = 1−3i et c = −1−i.
1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur etàmesure.
b. Quelle est la nature du triangle ABC?
c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle ¡ de
centre O, dont on calculera le rayon.
2. Soit M un point quelconque du plan d’affixe notée m et N le point d’affixe
notée n, image de A dans la rotation r de centre M et d’angle demesure
π
2
.
a. Donner l’écriture complexe de la rotation r .
b. En déduire une expression de nen fonction dem.
3. On appelle Q le milieu du segment [AN] et q son affixe.
Montrer que : q =
(1−i)m
2 +2+i.
4. Dans cette question, M est un point du cercle ¡.
a. Justifier l’existence d’un réel θ tel que : m =
p10eiθ.
b. Calculer |q −2−i|. Quel est le lieu ¡′ de Q lorsque M décrit le cercle ¡ ?
EXERCICE 2 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormal direct ³O, −→u , −→v ´. On prendra
pour unité graphique 2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectives zA = i et
zB = 1+2i.
1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que :
S(O) = A et S(A) = B.
2. Montrer que l’écriture complexe de S est :
z′ = (1−i)z +i.
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera ­ le centre de S).
Onconsidère la suite de points (An) telle que :
• A0 est l’origine du repère et,
• pour tout entier naturel n, An+1 = S (An).
On note zn, l’affixe de An. (On a donc A0 =O, A1 = A et A2 = B).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = 1−(1−i)n.
b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs −­−A−→n et −A−n−A−−n−+→1 .
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesurede l’angle
³−­−A−→n , −A−n−A−−n−+→1 ´.
c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An.
Construire les points A3 et A4.
4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (­B) ?
Pondichéry 2 16 avril 2009
A. P.M. E. P. Baccalauréat S
EXERCICE 3 4 points
Commun à tous les candidats
Dans un repère orthonormé de l’espace ³O, −→ı , −→ , −→k ´ on...
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