Algorithme du simplexe

CHAPITRE 3 La Méthode de Simplexe I. Introduction On a présenté dans le chapitre précédent une procédure graphique pour résoudre un programme linéaire à deux variables. Par contre, dans la plupart des problèmes réels, on a plus que deux variables à déterminer. Une procédure algébrique pour résoudre les programmes linéaires avec plus que deux variables fera l’objet de ce chapitre. C'est la méthode de simplexe. Une implémentation de cette procédure à permis de résoudre des programmes avec

Dictionary Operational research UK (US operations research) The systematic study of how best to solve problems in business and industry Wikipedia Operations research, operational research, or simply OR, is the use of mathematical models, statistics and algorithms to aid in decision-making Roadef Recherche Op´rationnelle : approche scientifique pour la r´solution e e de probl`mes de gestion de syst`mes complexes e e N. Brauner 7 La Recherche Op´rationnelle e Applications M´thodologie e Outils

8Définitions  Operational research UK, US operations research, Or simply OR  Cambridge Dictionary:  The systematic study of how best to solve problems in business and industry  Wikipedia:  Is the use of mathematical models, statistics and algorithms to aid in decision- making  Roadef (société française de recherche opérationnelle et d’aide à la décision):  Approche scientifique pour la résolution de problèmes de gestion de systèmes complexes 9Formalisation Face à un problème pratique de

Dictionary Operational research UK (US operations research) The systematic study of how best to solve problems in business and industry Wikipedia Operations research, operational research, or simply OR, is the use of mathematical models, statistics and algorithms to aid in decision-making Roadef Recherche Op´erationnelle : approche scientifique pour la r´esolution de probl`emes de gestion de syst`emes complexes N. Brauner 9 La Recherche Op´ erationnelle Applications Outils La RO en France R´ ef´ erences

8 8 9 3 4 Forme matricielle d’un programme linéaire . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . 12 Interprétation économique d’un programme linéaire Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 Forme standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Correspondance base-sommet, changement de base, itération . . . . 19

0 a i  x bi min c T x Sujet à Ax  Is b x, s 0 Algorithme dual du simplexe • L’algorithme dual du simplexe est une méthode itérative pour résoudre un problème de programmation linéaire sous sa forme standard min z c1 x1  c 2 x 2  c n x n Sujet à a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n b1 a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n b2 . . . . . . . . a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n bm x j 0 j 1,2,..., n Algorithme dual du simplexe • À chaque itération nous avons une solution de base du

Newton . . . . . . . . . . . 3.3 Les méthodes utilisant des directions conjuguées . . . . . . . . . 3.3.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Convergence des méthodes de directions conjuguées . . . . 3.4 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Etude comparative des méthodes d’optimisation sans contraintes 4 Méthodes itératives d’optimisation avec contraintes 4.1 Les méthodes de directions admissibles . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1

universitaire : 2009 - 2010 Plan du cours  Introduction  Partie    à la recherche opérationnelle 1 : Programmation Linéaire Chapitre 1 : Introduction à la programmation linéaire Chapitre 2 : Résolution d’un programme linéaire : méthode de simplexe Chapitre 3 : Dualité et analyse de sensibilité dans la programmation linéaire Plan du cours  Partie    2 : Graphes Chapitre 1 : Notions fondamentales sur les graphes Chapitre 2 : Problème du plus court chemin Chapitre 3 : Problème de planification

ETUDES DE CAS : PROGRAMMATION LINEAIRE –ALGORITHME DU SIMPLEXE SERIE N° 2 Outils d’aide à la décision Master 1 Professeur : M DIAWARA Problème 1 On considère les deux syst`emes d’´equations lin´eaires donn´es ci-dessous : 2x1 + 2x2 x1 + 2x2 + x1 + x2 − 3x3 = 4 x3 = 4 − 2x3 = 2 x1 + x2 + 2x3 = −2 x1 + x2 + 3x3 = 1 x1 + 2x2 = 3 D´eterminer la solution de chaque syst`eme. Problème 2 Soit le système d’inéquations suivant : 4x1 - 5x2 ≤ 21 (1) 2x1 + 3 x2 ≤ 30 (2) 3x1 -

– - Partie III : Algorithme du simplexe - Partie IV : Post – Optimalité  Dualité  Analyse de sensibilité - Exercices avec solutions M.ATMANI M .EZZAHAR A/U : 2019 - 2020 2 Remarque : la partie I : Formulation déjà traitée la partie II : Résolution graphique déjà traitée Partie III ALGORITHME DU SIMPLEXE I - Introduction La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche