Application lipschitzienne

introduisent la terminologie utilisée dans ce domaine. Les situations qui se modélisent par des problèmes de contrôle optimal sont très complexes. Elles sont gérées par des équations différentielles (qu’on ne sait souvent pas intégrer). Dans les applications, on essayera de traiter des exemples (les plus simples possibles !!!) ; on aura à intégrer des équations différentielles ordinaires connues (équations différentielles linéaires ; équations différentielles linéaires à coefficients constants ; systèmes

Exercice 1 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2x-3 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations

existe x ∈ [0, 1] tel que f (x) = g(x). Exercice 28. Plus grande fonction lipschitzienne minorant f (Ens Lyon MP∗ 2003) 1) Existe-t-il toujours ϕ lipschitzienne telle que ϕ f o` f : Rn −→ R est une application continue donn´e ? u e 2) Soit k > 0. Trouver une CNS sur f pour qu’il existe ϕ : Rn −→ R k-lipschitzienne minorant f . 3) On suppose cette CNS v´rifi´e pour k0 > 0. Montrer que si k k0 alors il existe ϕk , k-lipschitzienne minorant f e e et maximale pour l’ordre usuel des fonctions. Exercice 29

. e 1.6 Quelques notions topologiques de R . . . . . . . . . . 1.6.1 Propri´t´ de la borne sup´rieure . . . . . . . . ee e 1.6.2 Exemples et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . ee 1.6.3 Caract´risation de la borne sup´rieure . . . . e e 1.6.4 Application aux fonctions . . . . . . . . . . . 2 Suites num´riques e 2.1 D´finition et exemples . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 Suites arithm´tiques, g´om´triques e e e g´om´triques . . . . . . . . . . . . . e

comme ee e e e corps archim´dien contenant Q et v´rifiant la propri´t´ de la borne e e ee sup´rieure, suites r´elles, intervalles, fonctions continues de R dans R, e e d´rivation. e 3) Alg`bre lin´aire et bilin´aire : Espaces vectoriels, bases, applications lin´aires, e e e e calcul matriciel, d´terminants, produit scalaire. e 4) Fonctions de plusieurs variables, d´riv´es partielles. e e 5) Convexit´ d’un ensemble, d’une fonction. e 4 D’autres notions intervenant dans les exercices (fonctions

morceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et e e ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Int´gration sur un intervalle quelconque e 2.1 Int´grales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 Int´grales impropres sur un intervalle semi-ouvert . . . e 2.1.2 Int´grales

poss`de, en tout point, une e e e limite ` gauche ; celle-ci est finie si et seulement si la fonction est major´e ; etc. a e lorsque x → +∞ 1 xβ f (x2 ) = sup f. (3.9) Fonctions r´ciproques. Soit I un intervalle et f : I → R une application continue, strictement e monotone sur I . • Alors J = f (I) est un intervalle de mˆme nature que I (ouvert, ferm´, semi-ouvert). e e • f r´alise une bijection de I sur J et f −1 : J → I est continue et de mˆme sens de monotonie e e que f

d’intervalles de ℝ . Montrer que A est une algèbre de Boole sur ℝ . On rappelle au passage que l’ensemble vide est considéré être un intervalle de ℝ . Endomorphisme d’algèbre de Boole Soit A une algèbre de Boole sur E . On appelle endomorphisme de A toute application f : A → A telle que : (1) ∀A ∈ A , f (A) = f (A) et (2) ∀A, B ∈ A , f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ) . 3.a 3.b 3.c 3.d Justifier que f (E ) = E et f (∅) = ∅ . Montrer que ∀A, B ∈ A , f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ) et f (A \ B ) = f (A) \ f (B ) . Etablir

Des fonctions plus investies que d’autres dans l’utilisation des TIC Pour suivre automatiquement les appels d’offres En matière de production, études, R&D Dans le cadre de démarches commerciales Pour les achats et approvisionnements Pour les applications informatiques et la maintenance du système d'information En matière de gestion et d'administration, de RH 11% 27% 49% 48% 65% 71% % calculés sur les établissements informatisés et connectés les tic sont perçues comme une source d’avantages

Dans le cadre du projet de fin d’étude du deuxième cycle pour l’obtention de la License appliquée en Développement en système informatique (DSI), nous étions appelées à concevoir et développer une application standard intitulée Gestion Electronique des document proposée par la société BGI. Notre application GED s’intègre dans le cadre de la gestion et implantation s’un système qualité dans les entreprises. En effet, la GED représente une solution pour gérer les cycles de vie des documents et des circuits