Borne d'arcade

1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par : ∀P ∈ E, P ∞ = Sup P(n) (0) , n∈N . n! ∞) et = sup |un |. n∈N On considère les endomorphismes ∆ et C de ℓ (C) définis par : ∀u ∈ E, ∆(u) = v où ∀n ∈ N, vn = un+1 − un et ∀u ∈ E, C(u) = w

2 20. x→+∞ lim x Correction ln(x2 + 1) 1 + ex−3 [000623] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3 Indication pour l’exercice 1 1. Raisonner par l’absurde. 2. Montrer que la limite est la borne supérieure de l’ensemble des valeurs atteintes f (R). Indication pour l’exercice 2 Utiliser l’expression conjuguée. Indication pour l’exercice 3 Réponses : 1. La limite à droite vaut +2, la limite à gauche −2 donc il n’y a pas de limite. 2. −∞

pose (- A) = (- x /x E A). Montrer que : 1") Si A est majorée, (-A) est minorée et on a : inf (- A) = - sup A. 2") Si A est minorée, (-A) est majorée et on a : sup (- A) = - inf A. Solution 1") Soit A une partie non vide, majorée de W. Soit a sa borne supérieure. Donc, par définition on a : i ) V x ~ A xla. ii) V E E O 3 XOE A a - ~ < x oS a . Il est clair que (-A) est une partie non vide et minoree par a' = - a puisque d'après i) : V y E (- A) - y E A donc -y I a. c'est à dire - a I y. D'autre

? * Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans le menu STAT, .F5 : DIST puis .F1 : NORM Sélectionner .F2 : Ncd et EXE . Ex : Data : Variable, Lower : –1E99, Uper : 28, σ : 5, µ : 20 puis EXE N.B. : –1E99 et 1E99 représentent respectivement moins et plus l'infini. Si vous souhaitez afficher, par exemple, la zone située à droite de la borne inférieure (inf), spécifiez sup=1E99 pour la borne supérieure. Ex : Data : Variable

´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES OLIVIER DEBARRE ` Table des matieres 1. Le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e 2. D´montrer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e e 3. Appliquer le th´or`me de Cauchy–Lipschitz e e ´ 4. Equations diff´rentielles autonomes e 5. Stabilit´ des solutions e R´f´rences ee 1 3 8 11 14 17 ´ ` 1. Le theoreme de Cauchy–Lipschitz Une ´quation diff´rentielle (du premier ordre) s’´crit e e e (1) o` u f : I × Ω → Rn est une fonction continue, avec Ω ouvert (non vide) de Rn et I intervalle

algorithme pour des raisons d’ordre historique. Il permet l’obtention de chemins de longueur minimale ou maximale, quels que soient les signes des longueurs lij . Son principe : On marque tout sommet x j d’une marque  j qui correspond à une borne supérieure (inférieure) pour la distance minimale (maximale) de x1 à x j . On diminue (augmente) progressivement ces marques, à raison d’une par étape, et en suivant la procédure décrite dans l’organigramme ci-dessous. Lorsqu’une telle diminution

minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe

élément. 3.2 Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn xn x n x n 0 n x n |an x | = = |an x0 | ≤M · La série est une série

c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr 9-2 Séries entières Démonstration : I = r, r ∈ R+ , |an | rn converge est un intervalle de R+ contenant 0, soit il est borné et admet alors une borne supérieure, soit il n’est pas borné et R = +∞. +∞ Exemple : Cherchons le rayon de convergence de n=0 zn Soit r 0, on sait que r ne converge que si r < 1 et sup [0, 1[ = 1. On a donc R = 1. n On reviendra rapidement sur les moyens de