Borne d'arcade

l'intervalle de confiance par 3 ? Estimation de moyennes et taille d’échantillon 7) La taille moyenne observée sur un échantillon aléatoire de 101 personnes prélevé avec remise parmi 50000 est de 1,72 m avec un écart-type s’ de 23 cm. Donnez la borne inférieure d'un intervalle de confiance à 98 % pour la taille moyenne sur l'ensemble de la population. ................... Réponse : 166,56 cm 8) Quelle taille d'échantillon doit on prélever sans remise pour connaître le salaire moyen des habitants

élément. 3.2 Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A

s’il existe m ∈ R tel que : ∀x ∈ D, f (x) ≥ m, i.e. l’ensemble f (D) est minoré. • f est bornée si elle est majorée et minorée ou de manière équivalente si |f | est majorée : ∃M ∈ R, ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ M. Bornes Soit f dans RD • La borne supérieure de f , si elle existe, est la borne supérieure de f (D) : sup f = sup{f (x), x ∈ D} = sup f (x). x∈D • La borne inférieure de f , si elle existe, est la borne inférieure de f (D) : inf f = inf{f (x), x ∈ D} = inf f (x). x∈D • Le maximum de f

majorée si il existe un nombre M tel que pour tout nombre n, (tous les termes sont plus petits que M). M s'appelle alors un majorant de la suite. De même il existe des suites minorées. Une suite bornée est une suite qui est à la fois majorée et minorée. Les deux suites de l'exemple tout en haut ne sont pas bornées. ^ Suite arithmétique Définition Si la suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20... ou -2, 8, 18, 28...) on dit que c'est une suite arithmétique. Une suite

La série entière an z n converge au moins pour z = 0 ; sa somme est alors a0 . an z n . On appelle 1.2 Lemme d’Abel Lemme d’Abel — Théorème 1.1 Soit n n an z une série entière et z0 un complexe non nul tel que la suite (an z0 ) soit bornée. n z 1. Pour tout complexe z : an z n = O . z0 2. Pour tout complexe z tel que |z| < |z0 |, la série numérique an z n est absolument convergente. Démonstration — n 1. Pour tout z ∈ C : |an z n | = |an z0 | z z0 n =O z z0 n z z0

notions de limites  Connaître la notion de continuité  Connaître les notions de limites et continuité à droite et à gauche Dans tout ce chapitre, a ∈ R c'est à dire que a ∈ [−∞; +∞]. I désigne un intervalle de R contenant a, ainsi a peut-être une borne de I . 1 Dénition de la notion de limite 1.1 Limite nie en a Dénition 1. Soit f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour limite en a si et seulement si : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I\{a}, |x − a| α ⇒ |f (x) − l| ε

croissance ? Méthode employée : Question 1 : Déterminer une méthode de prélèvement aléatoire d’arbres dans la simulation et prélever un échantillon de chaque forêt. Déterminer un intervalle de confiance pour chaque échantillon et vérifier si la borne inférieure est supérieure à 50 cm. Si elle l’est, la forêt sera considérée comme exploitable. Question 2 et questions complémentaires : A partir des résultats précédents, déterminer l’ordre de priorité d’exploitation des forêts dont le diamètre

réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[. Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 )n soit bornée. Alors : 1. La série an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. 2. La série |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r < Preuve. La suite (an xn0 )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M . 1.) Pour |x| < |x0 | : ∞ n an xn0 xn x n x n n x n |an x | = = |a x | ≤ M · La série est une série géométrique

va néanmoins apporter des contestations. La rapidité des études, d’exécution, l’industrialisation des constructions amènent à une réflexion de la part de certains architectes et de la population sur le logement de masse. Le programme de la Grande Borne de Grigny est au cœur de ces interrogations sur le logement. Le terrain du programme est débloqué en juillet 1961. Ce terrain triangulaire de 90 hectares est bordé à l’époque par l’autoroute du Sud (maintenant A6) et de l’autre la station de radio