Coordonnées sphériques

INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 2001 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique. Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction

Calculer l’intégrale double:K = dS S Que représente cette intégrale? Exercice 10 Soit f: M(x,y,z) ! xz 2 : Calculer l’intégrale double K 0 = Soit B: boule de centre R RO R et de rayon 1: Que représente A = dxdydz? B Calculer A en utilisant les coordonnées sphériques 2 RR S f (M )dS ! ! Exercice 11 Calculer le ‡ux du champ de vecteurs U (M ) = (1 x2 ) i + 12 y(y+ ! ! 1) j + z(2x y) k à travers la surface S (nappe paramétrée) orientée par sa normale extérieure: x = u2 ; y = u; z = v;pour (u,v) appartenant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Produit vectoriel . . .

bilan en coordonnées cartésiennes__ 1.4.3.1 Calcul de d2q1 _____________________________________________________________ 1.4.3.2 Calcul de d2q2 _____________________________________________________________ 1.4.3.3 Calcul de d2q3 _____________________________________________________________ 1.4.3.4 Bilan énergétique global ____________________________________________________ 1.4.4 Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques ou sphériques _______________________ 1.4.4.1 Coordonnées cylindriques

x2 + y 2 . On a par passage en coordonnées a dr = 2πa. 0 On en déduit : f (x, y, z)dxdydz = 2πa. D http://www.bibmath.net 4 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Changements de variables Exercice 7 - Coordonnées polaires - Deuxième année On passe en coordonnées polaires en posant x = r cos θ et y = r sin θ. Remarquons que : (x, y) ∈ ∆ ⇐⇒ 0 ≤ r ≤ 1 et θ ∈ [0, π/2]. D’autre part, 1 + x2 + y 2 = 1 + r2 . La formule de changement de variables en coordonnées polaires donne donc : 1 π/2 I=

pour le point matériel M étudié : par rapport au référentiel ℜ sa position à chaque instant. On la caractérise indifféremment : par trois réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne

qui sort du tuyau doit être égal à ce qui y rentre ! HE-Arc, ingénierie 3 Analyse vectorielle – gradient, rotationnel et divergence 1.4 Lignes de champ 1.4.1 Pour un champ vectoriel à deux dimensions Soit un champ vectoriel donné en coordonnées cartésiennes :  a x ( x , y)   A ( x , y) =   a ( x , y)  y   (11) On appelle lignes de champs l'ensemble des courbes parallèles au champ vectoriel A . On les trouve en résolvant l'équation différentielle : ∂x ∂y = ax ay 1.4

Mécanique - Chapitre A - 4 |  A.4.Vitesse et accélération dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes:      Vitesse  Accélération Coordonnées polaires cylindriques:     Vitesse  Accélération Coordonnées sphériques:     Vitesse  Accélération  A.4.1. Coordonnées cartésiennes On emploie l’expression "coordonnées cartésiennes" pour parler des coordonnées cartésiennes rectilignes dans la base. Le rayon vecteur dans la base canonique s'écrit :où x, y, z sont des fonctions

Changement de variables . . 1.7. Coordonnées polaires . . . . . 2. Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3. Calculs divers 3.1. Aire ou volume de ∆ 3 3.2. Masse . . . . . . . . . 3 3.3. Centre d’inertie . . . 4 3.4. Moments d’inertie . . 4 5 4. Avec Maple 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Description hiérarchisée de ∆ Changement de variables . . Coordonnées cylindriques . . Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . .

le Jacobien qui va jouer le rôle de la dérivée : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de la matrice à p lignes et n colonnes : La première colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit D. Soit une bijection de classe la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de Exemple : Calculer au