Coordonnées cylindriques

(1) [pic] [pic] (2) [pic] 2-Rappels mathématiques Les équations de transfert de chaleur et de matière d’après (Cars-law & Jaeger ; Crank, 1970). Plaque en coordonnées cartésiennes  [pic] Cylindres en coordonnées cylindriques [pic] Où ф représente la concentration massique ou de la température. Ω représente la diffusivité thermique. Les conditions aux limites sont : [pic] Les solutions des équations (3)

(G, x) et (G, y) jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B. On a donc la matrice suivante : 0 0 A = B   IG (S) =  0 B = A 0  0  0 C R  Choix du paramétrage : Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, θ et z avec dV=rdrd θ dz Domaine d’intégration : r varie de 0 à R, z de –H/2 à H/2 et θ de 0 à 2π Calcul : C= H 2π 2 R ∫∫∫ (x² + y²)dm = ρ ∫ ∫ ∫ r .dr.dθ.dz = ρ.2π.H. 3 0 − H 0 2 R4 M MR 2 avec ρ = soit C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Repère orthonormal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4) Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques . . . . . . . . . . II) Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Produit vectoriel

Cinématique du point et du solide ..........................................................................................5 2.1 Coordonnées cartésiennes ..............................................................................................5 2.2 Coordonnées cylindriques ...............................................................................................6 2.3 Coordonnées sphériques.................................................................................................8 2.4 Position

bilan en coordonnées cartésiennes__ 1.4.3.1 Calcul de d2q1 _____________________________________________________________ 1.4.3.2 Calcul de d2q2 _____________________________________________________________ 1.4.3.3 Calcul de d2q3 _____________________________________________________________ 1.4.3.4 Bilan énergétique global ____________________________________________________ 1.4.4 Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques ou sphériques _______________________ 1.4.4.1 Coordonnées cylindriques

d’un cône renversé fixe de sommet r O et d’axe (O, ez ) . On assimile cette particule à un point matériel M, de masse m. r r r z On utilise un système de coordonnées cylindriques ρ, ϕ, z et le repère local orthonormé correspondant r r r Rl ( M , eρ , eφ , ez ) (figure 1), de sorte que : uuuu r r r OM = ρ eρ + zez Les coordonnées de tout point M ∈ (S) satisfont la relation ρ = α z quelque soit φ, (α constante positive, z > 0) . La particule est soumise exclusivement à deux forces : son poids

c’est-à-dire que EM  est radial. 2. a) M   a z uz Système de coordonnées choisi. Justification. Coordonnées cylindriques : Naturellement adaptées à la géométrie du problème. b) Représentation avec vecteurs unitaires et les coordonnées d’un point M. M ( , z) uρ z y  1 u  O x EM  3. Considérations d’invariance pour déterminer les coordonnées dont EM  dépend. Invariances - suivant z (invariance par translation, cylindre ) -

Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié. LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accélération en tenant compte de conditions initiales. LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques. ESSENTIEL Systèmes usuels de coordonnées • Coordonnées cartésiennes ➞ — ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = x ex + y ey + z ez ; base (ex , ey , ez ) (doc. 1). z z r M z M ez x x Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) : ➞ — ➞

ET Γ DANS LES DIFFERENTS SYSTEMES DE COORDONNEES ........................... 51 4.1 Coordonnées cartésiennes.......................................................................................... 51 4.2 Coordonnées cylindriques (et polaires) ..................................................................... 55 4.3 Coordonnées sphériques. ........................................................................................... 61 4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet.......

l’on note R. 1 - Définir les coordonnées cartésiennes (x, y, z) et les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) d’un point M. Quel est l’intérêt des coordonnées cylindriques ? Définir les coordonnées polaires. Donner les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques. 2 - Définir une base locale. Exemple : définir la base locale cylindrique O ,e  ;e  ;e z  . Calculer les composantes cartésiennes des vecteurs de la base locale cylindrique. 3 - Donner l’expression du vecteur