Cosinus hyperbolique

lim 3 38 Analyse en 30 fiches année universitaire 2011/2012 Université El Hadj Lakhar Batna Département Maths-Informatique 1 année LMD Analyse 01 Fonctions circulaires et réciproques I Fonctions circulaires • Fonctions sinus et cosinus Elles sont définies dans R et à valeurs dans [−1,1]. Elles sont 2π-périodiques. La fonction sin est impaire ; la fonction cos est paire. (sin x) = cos x ; (cos x) = −sin x . Dérivées : ∀x ∈ R • Fonctions tangente et cotangente sin x cos x Elle sont

3.1 Intégration des fonctions continues . . . . . . . . 5.3.2 Intégration des fonctions continues par morceaux 6 De nouvelles fonctions 6.1 Fonctions hyperboliques . . . . 6.1.1 Cosinus hyperbolique . . 6.1.2 Sinus hyperbolique . . . 6.1.3 Tangente hyperbolique . 6.1.4 Dérivées . . . . . . . . . 6.2 Fonctions circulaires réciproques 6.2.1 Arc cosinus . . . . . . . 6.2.2 Arc sinus . . . . . . . . 6.2.3 Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k et k’ sont de signes contraires, alors :  u 3 u 2  u u v u v (k  ; k' ) = (  , ) + π 3 u 2 3. Trigonometrie Rappel : Cosinus et sinus d’un réel x définition : Pour tout réel x , il existe un point M unique du cercle trigonométrique c tel que x soit une mesure de ( I , OM) . O  • l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) • l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x ) propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k , – 1 < cos x < 1

un cercle trigonométrique de centre O ; - le repère orthonormé (O, );OA), );OB)) ; - un point M du cercle 1. Définition du cosinus On appelle cosinus de l'angle [pic]);AOM) ou cosinus du réel α, l'abscisse du point M dans le repère (O, );OA), );OB)). On le note : cos α = [pic]. Les valeurs extrêmes que peut prendre le cosinus d'un angle sont – 1 et 1 : – 1 [pic]) cos α [pic]) 1. 2. Définition du sinus On appelle sinus de l'angle [pic]);AOM) ou sinus du réel α, l'ordonnée

- u , -v ) = ( u , v ) III.Lignes trigonométriques. 1. Repère orthonormal direct O est un point, i et j sont deux vecteurs tels que : i = j = 1 et ( i , j ) = On dit que (O; i , j )est un repère orthonormal direct. π 2 2. Cosinus et sinus d’un angle orienté x est un nombre réel quelconque. On lui associe l’unique point M du cercle tel que cos x et sin x sont les coordonnées cartésiennes de M. M (cos x, sin x) On pose cos ( i , OM ) = cos x sin ( i , OM ) = sin x

[pic] Propriétés : • Pour tout réel [pic] on a : [pic] et [pic] • Pour tout réel [pic] on a : [pic] • Pour tout réel [pic] et pour tout entier relatif [pic] on a : [pic] et [pic] On dit que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodique de période [pic] • Pour tout réel [pic] on a : [pic] et [pic] • Pour tout réel [pic] on a : [pic] et [pic] • Pour tout réel [pic] on a : [pic] et [pic] • Pour tout réel [pic] on a : [pic] et [pic] • Pour tout réel

LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES Rappel de cours ■ D’une droite… à un cercle π 2 π –π π 2 1 0 La figure ci-contre montre: – une droite numérique d’origine A, tangente en A à un cercle trigonométrique de centre O; – un «enroulement» de la tangente sur le cercle. Ainsi, à tout nombre positif ou négatif de la droite est associé un point et un seul du cercle. B 1 rad O – 1 rad A –π 2 C –1 –π 2 L’angle au centre kAOB associé à l’arc AB, d’origine A, d’extrémité

Chapitre G2 : TRIGONOMÉTRIE Série 2 : Calculs Le cours avec les aides animées Q1. Avec la calculatrice, comment obtient-on le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu ? Q2. Avec la calculatrice, comment obtient-on la mesure d'un angle dont on connaît la valeur du sinus ? Du cosinus ? De la tangente ? Les exercices d'application On veut calculer la longueur MP. a. Repasse en couleur la longueur connue et la longueur que l'on cherche puis complète. Calculer le sinus ou la tangente d'un

et w; u    . 3 6 Calculer la mesure principale de chacun des angles : 2  w; v   w; v  w;v  2w;3v 4w;v III- Trigonométrie : 3.1- Cosinus et sinus :   Définition : Soit un point du cercle trigonométrique, α une mesure de l’angle orienté i; OA . On appelle cosinus de   α et sinus de α les coordonnées du point A dans le repère O; i; j . On a donc Acos  ; sin   ou OA  cos  i  sin  j . xϵ  1  cos x  1  1  sin x 

Puisque, pour tout réel x, f(x) ∈] − 1, 1[, g est bien définie sur R. Soit x ∈ R. Puisque, tanh est solution (d’après 12.-), tanh(g(2x)) = f(2x) = 2tanh(g(x)) 2f(x) = = tanh(2g(x)). 2 1 + (f(x)) 1 + (tanh(g(x)))2 En reprenant l’argument tangente hyperbolique des deux membres, on a montré que : ∀x ∈ R, g(2x) = 2g(x). 20.- f est dérivable en 0 par hypothèse et Artanh est dérivable sur R (d’après 4.-) et donc en f(0). On en déduit que g = Artanh ◦ f est dérivable en 0. g est dérivable en 0. 21.- On a