Coupure de Dedekind

existe un entier N tel que : * La construction des nombres réels par Richard Dedekind Une seconde construction est publiée par Richard DedekindH 5 en 1872. Elle découle de l'étude de la relation d'ordre sur les fractions. Une coupure de Dedekind est un ensemble A de rationnels, tel que tout rationnel de A est inférieur à tout rationnel du complémentaire de A. Un réel est alors représenté par une coupure de Dedekind. Par exemple, la racine carrée de 2 est représenté par l'ensemble des rationnels

dŽmontre pas sa propre cohŽrence) et la preuve de cohŽrence de l'ArithmŽtique, de Gentzen (par 'Žlimination de coupure'). Si, en plus, on se lance au delˆ des annŽes '60, en Logique, on dŽcouvre bien d'autres incomplŽtudes pour les formalismes logiques: l'indŽpendance de l'Hypoth•se du Continu et de l'Axiome du Choix, les thŽor•mes de Normalisation (versions combinatoires de l'Žlimination de coupure, ˆ la Tait-Girard, par exemple) ainsi que l'indŽpendance d'autres propositions combinatoires intŽressantes

utilisées implicitement. Les mathématiciens du XIXème se sont employés à les mettre à jour explicitement. Ainsi, Cauchy utilise-t-il vers 1820 une propriété analogue à celle que nous appelons propriété des segments emboîtés. Plus tard, voici ce que Dedekind (1831–1916) écrit sur la droite réelle (Continuité et nombres irrationnels – 1872) : La comparaison entre le domaine des nombres rationnels et une droite induit à reconnaître que le premier est lacunaire, incomplet ou discontinu, tandis que la droite

Une coupure de Dedekind σ dans IR est un couple σ = (σ− , σ+ ) de deux sousensembles de IR, tel que 1. σ− = ∅, σ+ = ∅. 2. σ− ∩ σ+ = ∅ (c’est une cons´equence de 4 !) 3. σ− ∪ σ+ = IR 4. σ− < σ+ , c’est-` a-dire : x < y pour tout x ∈ σ− et tout y ∈ σ+ . V Axiome de Dedekind Pour chaque coupure de Dedekind σ = (σ− , σ+ ) dans IR, il existe un nombre r´eel σ0 ∈ IR avec ∀x ∈ σ− : σ0 x et ∀y ∈ σ+ : σ0 y (∗) On appelle σ0 le nombre de s´ eparation de la coupure σ. C’est

souvent confondue avec le plus grand élément. – Ce n’est pourtant que beaucoup plus tard, dans les années 1860-1870 (donc assez récemment dans l’histoire des mathématiques) que deux constructions complètes de R sont données : – Les coupures de Dedekind : C est une coupure si C ⊂ Q et si ∀ r ∈ C on a r < r =⇒ r ∈ C . – Le suites de Cauchy : ce sont les suites (u n )n∈N vérifiant la propriété ∀ε > 0 ∃ N ∈ N | (m N ,n N) =⇒ | u m − u n | ε. Les réels sont l’ensemble des suites de Cauchy (où l’on identifie

conséquence sur le développement d’une pensée logique qui se pose comme libre. Si A.J Ayer postulait dès sa vingt-troisième année que l’élimination des controverses métaphysiques était le préalable à tout développement fructueux de la pensée, la coupure d’avec l’Europe n’était pas une rupture d’avec la voie viennoise mais la voie romaine. Son chapitre 6, dédié à la critique de l’éthique et de la théologie, met en évidence l’indétermination scientifique profonde des jugements de valeur éthique par

Utiliser pour un morphisme d’anneaux f : A → B avec A fini : |A| = | im(f )|| ker(f )|. Un morphisme de corps est toujours injectif. Plonger un anneau intègre dans son corps des fractions (Z → Q). Curiosités – Un anneau de Boole, de Bézout, de Dedekind, le nilradical, le radical de Jacobson, un anneau réduit, principal, intégralement clos, local, noethérien, artinien, factoriel, euclidien, un idéal premier, primaire, radiciel, décomposable, irréductible, fractionnaire, les modules sur un anneau

font appel aux limites de suites croissantes et majorées de rationnels (définition de Cantor) ou à la relation d'équivalence sur "les suites de rationnels dites de Cauchy" basée sur la notion de distance, ou par les coupures liées à la notion de relation d'ordre par la méthode de Dedekind. Le second problème de cohérence théorique, lié au premier mais qui n'a pas sa place ici dans une première approche, serait alors de démontrer que tous ces "ensembles" sont isomorphes en tant que corps commutatifs

algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures. • Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes

sera pair et q sera pair lui aussi ! C.Q.F.D. Remarque. L’axiome de la borne sup´rieure (axiome A14) est donc celui par lequel e les nombres r´els se distinguent des nombres rationnels. Une construction e de R ` partir de Q faisant appel aux « coupures de Dedekind » est pr´sent´e a e e dans le premier chapitre du volume de Rudin [3]. 3.3 Exercices Composez une solution rigoureuse de chaque exercice en utilisant exclusivement les r´sultats (th´orie et exercices) qui le pr´c`dent dans le cours