Diagonalisation

de Passage : Dans un espace vectoriel V de dimension n, on appelle matrice de passage d’une base β= u1, u2,…un dans une base β= u1, u2,…un , la matrice P dont les colonnes sont constituées des composantes des uk dans la base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques : Une matrice A symétrique est toujours diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Si une matrice A est diagonalisable et si on dispose de la matrice de passage P et de la matrice diagonale D on a : A =PDP-1

. . . Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices de Gram et inégalité d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déterminant des matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation en base orthonormée des endomorphismes normaux . Transcendence de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

géométriques. • Contenu : Calcul matriciel. • • Systèmes d'équations linéaires : aspects matriciels et numériques. • Espaces vectoriels de dimension finie et applications linéaires. • Transformations géométriques usuelles. Prolongements possibles : • Diagonalisation. • Analyse de données, en liaison avec l’U.F. TC-CCG-MATH4 « Probabilités et Statistique ». • Comportements asymptotiques liés à des phénomènes de type linéaire (processus de Markov), en liaison avec l’U.F. TC-CCG-MATH4 « Probabilités et Statistique

principales lois de probabilités L’Echantillonnage. Méthodes d’estimation Les intervalles de confiance S2M5 : Algèbre et Maths Financières 1. Algèbre - - Espaces vectoriels Matrices Applications linéaires Systèmes linéaires Diagonalisation 2. Mathématiques financières Suites et séries Les intérêts simples et composés Escomptes et équivalence des capitaux Les annuités Les emprunts indivis 11/02/2014 Cycle Licence Domaine des SJES&Gestion 10 S2M6: Démographie

(πu ) , ce qui n'est pas possible. ( ) β β β Comme Pk k ∧πu = Pk k ̸= 1, le polynôme minimal de la restriction de u à Ek = ker Pk k (u) β est Pk k (exercice 17.5). En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, on obtient les critères de diagonalisation (voir aussi le théorème 18.7) et de trigonalisation suivants. Théorème 17.7 Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. l'endomorphisme u est diagonalisable ; 2. il existe un polynôme annulateur de u qui est scindé à racines simples ;

entre le pré et le post- test 2.2.1. Résultat global Nous allons présenter nos résultats sous forme de tableau de diagonalisation de Bertin qui visualise en même temps les taux élevés (concentration du gris) et les taux faibles (concentration du blanc) de changements de réponses, entre le pré et le post-test, par question et par élève. Tableau 60. Diagonalisation de Bertin : Tableau récapitulatif des changements et des non changements de réponses entre le pré et le post-test. n°d’élève

Applications des nombres complexes à la géométrie. 10 - Algèbre linéaire en dimension finie : a) Familles libres, familles génératrices, bases, dimension ; b) Applications linéaires, image, noyau ; c) Matrices, calcul matriciel, déterminant ; d) Diagonalisation des endomorphismes. STATISTIQUE 1 - Statistique descriptive : a) Indicateurs de tendance centrale. b) Indicateurs de dispersion, concentration. c) Régression linéaire, corrélation et ajustement. 2 - Statistique mathématique : a) Échantillonnage

sous-espaces propres, vecteurs propres ; réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d’une valeur propre. Endomorphismes diagonalisables ; valeurs propres d’une matrice carrée, vecteurs propres. Diagonalisation des matrices carrées. 2. espaces vectorieLs eucLidiens Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont de dimension finie sur R. a) Géométrie des espaces euclidiens : Endomorphismes symétriques ; matrice associée dans une base orthonormale

Espaces affines euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène

Puisque e e i i i i les colonnes de U sont orthonormales, nous trouvons que U U = I, qui implique que U = U −1. Une telle matrice U est dite matrice orthogonale. La postmultiplication de (A.30) par U fournit A = UΛU . Cette ´quation exprime la diagonalisation de la matrice A. e Le calcul des d´terminants des deux cˆt´s de (A.31) fournit e oe n (A.31) |A| = |U ||U ||Λ| = |U ||U −1 ||Λ| = |Λ| = i=1 λi , calcul ` partir duquel nous d´duisons le r´sultat important que le d´terminant