Diagonalisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 47 47 48 . . . . 49 49 50 50 51 5 Réduction des Matrices Carrées 5.1 Valeurs propres, Vecteurs propres . . 5.2 Diagonalisation d’un endomorphisme 5.3 Diagonalisation d’une matrice carrée 5.4 Séries d’exercices . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cours : A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation B. C. Partie 1 1 21/10/2010 Introduction : Rappels Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous traitons ici le cas général) est de la forme :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 47 47 48 . . . . 49 49 50 50 51 5 Réduction des Matrices Carrées 5.1 Valeurs propres, Vecteurs propres . . 5.2 Diagonalisation d’un endomorphisme 5.3 Diagonalisation d’une matrice carrée 5.4 Séries d’exercices . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

avec le numéro de variables, c’est-à-dire 5. L’analyse en composantes principales consiste dans la détermination des axes principaux qui permettront à maximiser des nouages des points. L’aperçu de la précision des calculs : TRACE AVANT DIAGONALISATION.. 5.0000 SOMME DES VALEURS PROPRES .... 5.0000 HISTOGRAMME DES 5 PREMIERES VALEURS PROPRES +-------------+---------------+-----------------+----------------+-------------------------------+ | NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT

00 Analyses multivariés. INRA formation permanente. Janvier 2006. L'Analyse en composantes principale 18/31 17.L’ACP en résumé i J Tableau des données J J Matrice diagonale des valeurs propres Matrice de Corrélation J Diagonalisation J Matrice des vecteurs propres J J J Histogramme des valeurs propres i Les composantes principales Analyses multivariés. INRA formation permanente. Janvier 2006. L'Analyse en composantes principale 19/31 18.Transformer

linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications 153 153 156 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables aléatoires sur un ensemble fini 3. Couple de variables aléatoires

est une forme quadratique sur R3 . 2. D´eterminer le rang et la signature de la forme q par la m´ethode de Gauss. Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − <

l’analyse du triplet (X, Q, D) et consiste à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres associés aux différentes possibilités de produits matriciels Xt DXQ , t t t DXQX , XQX D , et QX DX . Dans la pratique, on ne réalisera qu’une seule diagonalisation (dans la dimension la plus petite) et l’on déduira les trois autres systèmes de vecteurs propres. Par exemple, si p < n alors on diagonalisera la matrice Xt DXQ afin d’obtenir les vecteurs propres contenus dans la matrice A r associés aux r valeurs

0 0 0 0 A 0 0 0 0 avec ( est un chi¤re 2 R) x + 2y + z = 1 (c’est une plan / équation d’un plan) Dans ce cas la solution est: S = f(1 2y z; y; z) =y; z 2 Rg Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications

déterminant. Théorème. AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème. Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant (réciproque fausse). 2.4 Diagonalisation Définition. Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres de f. Si de plus, E est de dimension finie, f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle