Diagonalisation

vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres réductions — Applications Probabilités 7 Probabilité sur un ensemble fini 1. Espaces probabilisés finis 2. Variables aléatoires sur un ensemble fini 3. Couple de variables aléatoires finies 4. Lois finies usuelles

propriétés des déterminants, et on donne en annexe une introduction aux notations de la Physique (convention de sommation sur l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA (A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition

variance expliquée associé aux axes factoriels Le pourcentage des variances expliquées par les quatre premiers axes factoriels sont respectivement : 33,22 ; 21,21 ; 13,19 et 12,35. VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION .. 12.0000 SOMME DES VALEURS PROPRES .... 12.0000 HISTOGRAMME DES 12 PREMIERES VALEURS PROPRES +--------+------------+-------------+-------------+----------------------------------------------------------------------------------+

. . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 106 107 110 114 114 115 115 117 117 8 Diagonalisation des matrices 8.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . 8.1.1 Calcul des vecteurs propres . . . . . . . 8.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice 8.3 Matrices symétriques et diagonalisation . . . . 9 Applications linéaires 9.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Propriétés des applications

applications dans les machines électriques et les aimants + appliqué Matrices semblables Triangles semblables, Similitudes en géométrie Fractales Ensemble de Mandelbrot (périodicité) Équations différentielles Valeurs propres, Endomorphisme, Diagonalisation Isotropie / anisotropie Cristallographie, quasi-cristaux, Propriétés électriques des matériaux, Propriétés optiques des matériaux, Propriétés thermiques des matériaux, Propriétés magnétiques des matériaux Réseaux optiques, polarisation

λI] ≠ 0 , il existe une infinité de vecteurs b j appelés vecteurs solution du système d’équation homogène [R − λI]b j = 0 . Or on sait qu’en dehors de la solution propres, associés aux différentes valeurs propres λ j de la matrice R. On appelle diagonalisation de la ∂L = 2Rb j − 2λb j = 0 ∂b j [ ] matrice R l’ensemble de ces recherches de valeurs propres et de vecteurs propres. Le vecteur propre b 'j est un vecteur normé. De ce fait, parmi l’infinité des vecteurs b j , on choisira un vecteur

par X et en rempla¸ant Xu par e a c c on obtient alors, XM X Dc = λc. La matrice XM X not´e W est la matrice dont le terme e g´n´ral wij est le produit scalaire ei , ej = ejj M ej . e e D’o` pour r´sumer : dans la pratique on calcule les u par diagonalisation de M V, puis on u e obtient les c = Xu, les axes principaux a n’ayant pas d’int´rˆt pratique. ee 3.4 Qualit´ des repr´sentations sur les plans principaux e e Le but de l’ACP ´tant d’obtenir une repr´sentation des individus dans un espace

déformée du nuage initial. C'est cette image réduite donc beaucoup plus accessible à notre observation que nous examinerons pour décrire et analyser les données du tableau initial. Mathématiquement, la détermination des axes factoriels se fait par diagonalisation de la matrice de variances-covariances, d’où le vocabulaire utilisé (valeurs propres, vecteurs propres) II - Interpréter une ACP 1 - Le % de l'inertie expliquée par les premiers axes factoriels Un facteur est une variable composite fabriquée

. . . . . . . . . . . . 5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 5.1 5.2 5.3 5.4 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres Propriétés du polynôme caractéristique . . . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32 35 38 40 40 42 43 45 45 46 47 48 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 52 53 55 Chapitre 1 Calcul matriciel

. . . . . . . . . . . . 5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 5.1 5.2 5.3 5.4 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres Propriétés du polynôme caractéristique . . . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32 35 38 40 40 42 43 45 45 46 47 48 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 52 53 55 Chapitre 1 Calcul matriciel