Diagonalisation

situe dans ce cadre. Elle consiste à diagonaliser la matrice des variances-covariances de la fonction de spécification. La diagonalisation est l’opération qui revient à transformer une matrice carrée en diagonale, c’est-à-dire que toutes les valeurs autres que les valeurs de la diagonale sont égales à zéro, mais la somme des valeurs de la diagonale reste inchangée. La diagonalisation de la matrice des variances-covariances permet d’annuler les covariances (de trouver des portefeuilles d’activités indépendants)

. . . Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices de Gram et inégalité d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déterminant des matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation en base orthonormée des endomorphismes normaux . Transcendence de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en algèbre linéaire, les méthodes itératives sont employées pour la résolution des systèmes (méthode de relaxations successives, de Gauss-Seidel, de Jacobi), pour la recherche des valeurs propres dominantes (quotient de Rayleigh) et pour la diagonalisation des matrices. II-1) Le discret et le continu : Fondamentalement, l’analyse numérique établit un rapport organique entre le continu et le discret. Le plus souvent, on approche un problème continu par un problème discret portant sur une suite finie

(φ)]bb , (4) où les (αk )k=0,K−1 sont des coefficients de pondération positifs. L’optimum θ de ce critère est fourni par l’équation (5) ci dessous. Cette technique met clairement en avant des idées comparables à celles développées pour la diagonalisation conjointe de matrices (voir par exemple [13]). La procédure de construction des signaux wk peut être résumée comme suit : - Initialisation : choisir U = U0 , avec UT U0 = I, 0 Mk = UT (VT Sk V)U, M− = 0 (k = 0, . . . , K − 1) k - Iterations :

l’économétrie, la génétique, la finance… Algèbre linéaire Espaces vectoriels, Indépendance linéaire, bases, Applications linéaires, Matrices, déterminants, systèmes linéaires, Changements de base, Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation. Analyse Généralités sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle, Fonctions usuelles : hyperboliques, inverses hyperboliques, inverses trigonométriques, Fonctions équivalentes, développements limités, Calcul intégral, Equations

suites et des séries, qui permettent de représenter et d'analyser la dynamique des phénomènes économiques. Etude des notions d'algèbre linéaire. Après avoir introduit les fondements du calcul matriciel, aborder ensuite des méthodes de diagonalisation. Etudier enfin les formes quadra-tiques, qui sont utiles pour traiter les problèmes d'optimisation. Ce dernier chapitre du cours complète donc les notions d'optimisation introduites en Mathématiques I. Le cours s'appuiera sur de nombreux exemples

cours, en rapport ou non avec l’exercice. e Aux CCP, barˆme souvent d´taill´ (8+12) e e e A Centrale, Maple ` disposition dans la salle pour l’une des ´preuves. Usage : calculs d’int´grales; de d´riv´es a e e e e partielles, simulation num´rique, diagonalisation, etc e ENSEA Environ 10 mn de pr´paration au tableau puis 20 ` 30 mn de passage. e a INT, ENSAE Pas de pr´paration. 30 ` 35 mn au tableau. e a MINES 1 h d’oral au tableau. Parfois 10 mn de pr´paration au tableau ou sur feuille. e Les examinateurs

Hassan-Shafique CAP5415 Computer Vision 2003 UPMC Cours BIMA Normalisation du coût : •  Pour corriger le précédent pb, on considère un coût normalisé Nw : Nw(A,B) = w(A,B) w(A,B) + w(A,V ) w(B,V ) Solution numérique utilisant une diagonalisation matricielle. ! J. Shi and J. Malik. Normalized cuts and image segmentation. PAMI 2000 Matthieu.cord@lip6.fr UPMC Cours BIMA Exemples Matthieu.cord@lip6.fr UPMC Cours BIMA Annexe : complément sur les méthodes par

= U V (20) Ip S A−1 B In X Y = U V On obtient alors la formule recherch´e par identification de la matrice M du e syst`me pr´c´dent avec celle, M , du syst`me ´quivalent (16) ; c’est la formule e e e e e importante - de diagonalisation (par blocs) de Schur : A B M B C = Ip B A−1 P A In ∆ Ip S A−1 B In Q (21) o` S est le compl´ment de Schur (19). u e Remarques : 1) (21) sera utilis´e en (51), (88), (114) et (116). e 12 2) On aurait pu arrˆter la

vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode pour diagonaliser une matrice Matrices symétriques et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 121 123 125 127 128 9 Applications linéaires 9.1 Dénitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . .