Endomorphisme

et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 28 29 30 31 31 32 33 33 34 35 35 5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 5.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme 5.2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice . . . . 5.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . 5.3.1 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . 5.3.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Polynˆme caract´ristique . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens

que r ∑ k=1 Uk Pk = 1. Dans ce qui suit, u est un endomorphisme de E. 17.1 L'algèbre commutative K [u] On note u0 = Id et on dénit les puissances successives de u par la relation de récurrence : ∀k ∈ N, uk+1 = uk ce qui nous permet de dénir, pour tout polynôme P = P (u) , par : P (u) = p ∑ k=0 p ∑ k=0 ak X k ∈ K [X] , l'endomorphisme ak uk La sous algèbre de L (E) engendrée par u est constituée des endomorphismes v = P (u) où P est dans K [X] . On note naturellement K

matrice symétrique réelle à n lignes et n colonnes telle qu’il existe un entier k vérifiant Ak = In .Montrer que A 2 = In . EXERCICE 15. Vrai ou Faux. E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de nombres complexes K. Soit f un endomorphisme de E. Id est l’application identique. Donnez votre opinion sur les assertions suivantes (à justifier par une démonstration). 01. Si f 2 = f , alors f est inversible. 02. Si f est inversible, alors f −1 est diagonalisable. 03. Si f est diagonalisable

. . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 1 1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 7 9 9 11 12 12 13 13 15 16 16 16 17 18 18 19 19 21 21 22 i TABLE DES MATIÈRES 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . Image et noyau d’un endomorphisme . . . Sous-espace engendré par une famille finie Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . Obtention de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 23 3 Matrices 3.1 Opérations

Matrices et changement de base VI.1 Matrice de changement de base . . . . . . . . . . . VI.2 Coordonn´es de vecteur et matrice de passage . . . e VI.3 Matrice de passage inverse . . . . . . . . . . . . . VI.4 Relation entre matrices d’un mˆme endomorphisme e A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommaire Concepts Notions Exemples Exercices Documents Exemples 66 A.1 Exemples de l’avant-propos . . . . . . . . . . . . .

′ = p (− ) ⇔ x x x x D7 c) Exemples de K 2 dans K 2 . E1 d) Exemples en analyse. E2 : limite, dérivée, intégrale. 3) Vocabulaire. Une application linéaire de E dans lui-même est appelée un endomorphisme de E. Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels. Un endomorphisme de E bijectif est appelé un automorphisme de E. E3 II) ESPACE VECTORIEL DES APPLICATIONS LINÉAIRES L (E, F ) Notation : L (E, F ) est l’ensemble des applications linéaires de E dans F : L (E

DEUG II MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude de

4 *** Soit f qui à P élément de R2n [X] associe f (P) = (X 2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655]