Exponentielle de base a

Transp. des fct. math. 201-026-LI Chapitre 8 Modèle exponentiel et logarithme Notes de cours Hiver 2015 8.1 Fonction exponentielle Exemple introductif : Quelle est la valeur d’un placement de 2 000 $ placé à 7,5% d’intérêt (capitalisé annuellement) au bout de 10 ans ? Le montant de 2 000 $ est ce qu’on appelle le capital initial. On le note ?0 . On cherche une fonction qui nous donnera le capital ? au temps ?. Remarque : Dans cet exemple, le temps ? est une variable qui ne peut prendre que des

maisparmultiplication. Cesopérations lontnaturellement apparaître lesfonctionsexponentielles, tandisquelestonctions logarithmes permettent de revenir à desmodèles additifs. Nousrappellerons simplement ici lespropriétés et I'usage de ces fonctions. Figure1 1.Lesfonctions exponentielles 0 1 x a) Exemple introductif Lesdeuxfonctions exponentielles lesplusutilisées Unepopulation s'accroît de12%paran;soneffectifsont l'exponentielle debase10, estainsimultiplié chaque (unindiæ): annéeparunfacleur i

  Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3

Mr. Taoufik.Z Devoir de contrôle 1 (exp1) Bac sc & tech Exercice 1 : (3 points) Etudier la limite éventuelle en zéro de la fonction f sin x 1 1 1 a) f ( x)  x sin   ; b) f ( x)  2  sin   ; c) f ( x)  3 x x  x x Exercice 2 : (4 points) Soit g :    ; x  x3  3x  1 1) Dresser le tableau de variation de g 2) Montrer que l’équation g ( x)  0 admet dans  0,  exactement deux solutions x1 et 3) En déduire le signe de g ( x) pour x   0,  Exercice 3 : (3 points) Soit U

Classe de terminale 10 Jeudi 26 novembre 2009 Devoir de mathématiques n°3 Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer

Fonctions exponentielles et logarithmes On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle. 1. La fonction exponentielle Définition Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle

Te ES Cours Les fonctions exponentielles Le chapitre sur les suites géométrique introduit un modèle applicable aux évolutions discrètes (c’est-à-dire régulières et constantes). Citons en exemples les calculs d’intérêts annuels, la dévaluation d’un bien immobilier, la datation au carbone 14, etc. Dans la réalité, ces modèles ont besoin d’être affinés. En effet, le montant présent sur un compte varie durant l’année. Comment calculer les intérêts avec justesse ? La vente d’un bien immobilier

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve. Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les

son ensemble de définition pour tout réel positif, on définit la fonction exponentielle de base .Ainsi par exemple :Pour une suite géométrique de raison et de premier terme 1, on a par exemple : .Pour la fonction correspondante, on a : mais on a également : .Et de façon générale, pour tout réel positif.La fonction est appelée fonction exponentielle de base 2.Propriété :L’ensemble de définition des fonctions exponentielles peut ainsi être étendu aux valeurs de négatives.Définition :