Morphisme

pour tout élément a de A, ϕ(ϕ(a)) = a. Donc ϕ est une bijection, puisque tout élément de A a pour antécédent ϕ(a). Montrons maintenant que ϕ est un morphisme pour l’addition. √ √ √ ϕ((m + n 6) + (m + n 6)) = ϕ(m + m + (n + n ) 6) √ = m + m − (n + n ) 6 √ √ = m−n 6+m −n 6 √ √ = ϕ(m + n 6) + ϕ(m + n 6). Montrons enfin que ϕ est un morphisme pour la multiplication. √ √ √ ϕ((m + n 6)(m + n 6)) = ϕ(mm + 6nn + (mn + m n) 6) √ = mm + 6nn − (mn + m n) 6 √ √ = (m − n 6)(m − n 6) √ √

centralisateur du singleton {x}. • Étant donné un groupe G et deux sous-groupes H et K de G, on désigne par HK le produit de H par K, défini par : HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K}. • Étant donné deux groupes G et H, de neutres respectifs eG et eH , et un morphisme de groupes f : G → H, on appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. • Soit G un groupe d’ordre pr m, où pr ∧ m = 1, et p est un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G un sous-groupe de G de cardinal pr . •

?? ∗ : ?, ? ∙ ? désigne l’image de ( ?, ?) par ∙ : {( ?× ?→ ? . ?, ?) ↦ ? ∗ ? { ?× ? → ? ( ?, ?) ↦ ? ∙ ? MORPHISME Soient (E, ○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni

des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective. En effet : ∀y ∈ G, ∃x ∈ G tel que y = ϕg(x). (Il suffit de choisir x = g−1y). Ceci assure la surjectivité. ϕg(x) = ϕg(x') gx = gx' ✁ ✁ g−1gx = g−1gx' ✁ x = x'. Ceci assure l'injectivité.

´l´ment . . . . . . . . . . . . . . e ee I.9 El´ments simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . . e I.10 Propri´t´s transport´es par un morphisme surjectif ee e II Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Sous-groupe engendr´ par un ´l´ment . . . . . . . e ee II.5 Groupes monog`nes, groupes

Caractérisations fondamentales des sous-groupes (énoncés ) + Montrer que , dans G groupe abélien , H = x ∈ G / ∃n ∈ N ∗ xn = e est un sous-groupe 5. Noyau et image d’un morphisme de groupes : définitions + montrer que ce sont des sous-groupes + Montrer que , dans G groupe abélien , H n = x ∈ G / x n = e est un sous-groupe 6. Noyau et image d’un morphisme de groupes : définitions + caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité (énoncés + preuves ) 7. Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n (Enoncé + démonstration

F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (− ) → → → 2. ∀ x x x REM 1: on peut regrouper 1. et 2. en un seul énoncé : → → → → → → 3. ∀− , − ∈ E ∀λ ∈ K f (− + λ− ) = f (− ) + λf (− ) x y x y x y D1 REM 2 : 1. signifie que f est un morphisme du groupe (E, +) vers le groupe (F, +) : mais ceci

14a. Montrer que Φ est un morphisme de groupes. Montrer que les coefficients de XY X −1 sont des fractions rationnelles des coefficients de X et de Y . En déduire que Φ est de classe C 1 . 14b. Montrer que dΦIn : Mn (R) → L(Mn (R)) est donné, pour tous X, Y ∈ Mn (R) par dΦIn (X)(Y ) = XY − Y X . Dans la suite du problème, on pose ϕ(X) = dΦIn (X) : Mn (R) → Mn (R) Y → XY − Y X . 15. Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie et soit f : GLn (R) → GL(V ) un morphisme de groupes de classe C 1 .

et B = diag(b1 , . . . , bp ) sont dans ∆, on a E(A + B) = E(diag(a1 + b1 , . . . , ap + bp )) = diag(ea1 +b1 , . . . , eap +bp ) = diag(ea1 eb1 , . . . , eap ebp ) = diag(ea1 , . . . , eap )diag(eb1 , . . . , ebp ) = E(A)E(B) E est donc bien un morphisme de groupes de (∆, +) dans (GLp (K), ×). B.1 Par hypoth`se, il existe une matrice inversible P ∈ GLp (K) et une matrice D ∈ ∆ telles e 1 1 que P −1 AP = D. On a alors Ip + n A = P Ip + n D P −1 . Comme (P M P −1 )k = P M k P −1 (r´currence sur k)

Montrer qu’il existe en fait m ≤ n avec Am = 0. 2. Existe-t-il une matrice complexe A dont le carr´ soit ´gal ` la matrice suivante ? e e a 0 0 0   B =  −1 0 0  . 0 −1 0   Exercice 25 - Morphismes de groupes de GLn (K) dans K∗ - Math. Sp´ e Soit K un corps infini, φ : GLn (K) → K∗ un morphisme de groupes, φ(M ) s’exprimant comme un polynˆme des coefficients de M . Montrer que φ est une puissance du d´terminant. o e Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices