Similitude

3 1 Enfin zC = + i. 2 2 Soit C′ l’image de O dans similitude directe de centre A, de rapport π π 2 et d’angle − . 2 On a par définition : π zO′ − zA = 2e− 2 ((zO − zA ) = −i 2((zO − zA ). D’où : zO′ = zA − i 2((zO − zA ) = 2 − i − i 2(−2 + i) = 2 − i + 2 2i + 2 = 2 + 2 + i 2 2 − 1 . Cette affixe n’est pas celle de C. Affirmation FAUSSE. 4. On a ( f ◦ f )(z = (−1 + i)(−1 + i)z = (1 − 1 − 2i)z = −2iz = 2e− 2 . π On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d’angle − π . 2 La droite

10. www.espacemaths.com L’image d’un triangle par une homothétie est un triangle qui lui est ……………………………………… Une homothétie est une application du plan qui multiplie les distances par une constante positive. Une homothétie est donc dite « Similitude ». Exercices 1, 2, 3, 4, 5 et 6 page 140. Exercice 2 page 145. Conservation du barycentre : Soit G le barycentre des points pondérés ( A, a ) et ( B, b ) . On note G’, A’ et B’ les images respectives des points G, A et B par h( I ,k ) . Montrer

(Spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O,[pic],[pic]) . On considère l’application f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M ’ d’affixe : z’ = [pic] iz + [pic]. 1) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre ( ,le rapport k et l’angle ( . 2) Soit M0 le point d’affixe 1 + 4[pic] + 3i .Pour tout entier naturel n, le point Mn+1 est défini par Mn+1 = f(Mn) a) En utilisant la 1ère question, calculer

l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ³O, −→u , −→v ´. On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectives zA = i et zB = 1+2i. 1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B. 2. Montrer que l’écriture complexe de S est : z′ = (1−i)z +i. Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera ­ le centre de S). On considère la suite de points (An) telle que : • A0 est l’origine

radians de l'angle ([pic],[pic]). On admettra que ([pic],[pic]) = [pic] et ([pic],[pic]) = [pic] 5°- Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle [pic] ? B -Recherche d'une similitude directe transformant ABC en A1B1C1. On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en Al, B1 et C1. 1 °- Montrer que l'écriture complexe de s est z' = ([pic]+[pic] i) z + 2 - 2i, où z et z' désignent respectivement les affixes d'un

z0 , z1 et z2 sous forme trigonométrique. Partie B Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O; u ; v ) où l’unité est 1 cm, on considère les points 1 1 ; M0 , M1 et M2 d’affixes respectives + % 3 i ;1+ %3 i 2 2 2 S est la similitude directe de centre O, d’angle ( 3 et de rapport 2. 1.a. Déterminer l’écriture complexe de S. b. Justifier que S( M 0) = M1 et S(M1 ) = M 2 2. Soit Mn un point du plan d’affixe zn . On pose pour tout nombre entier naturel n, Mn+1 =

Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement, (C 1 ) et (C 3 ) et par Q et S les points diamètralement opposés à J sur, respectivement, (C 2 ) et (C 4 ). π 2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport 2 et d’angle . 4 a. Quelles sont les images par s des points D, N, B? b. En déduire que J est le milieu de [PR]. 1. 2 P (C 1 ) (C 4 ) S A B N J I M (C 2 ) D (C 3 ) Q R C P ROBLÈME Soit

considère les points A, B et C, d’affixes respectives −5 + 6i, −7 − 2i et 3 − 2i. On admet que le point F, d’affixe −2 + i est le centre du cercle Γ circonscrit au triangle ABC. 1. Soit H le point d’affixe −5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H. 2. a. Étant donné des nombres complexes z et z ′ , on note M le point d’affixe z et M ′ le point d’affixe z ′ . Soient a et b des nombres complexes. Soit s la transformation d’écriture complexe

+ Le seul point invariant est le point B. π De z ′ = e−i 3 z + 2 et π 1 − i 3 = e−i 3 1 − i 3 + 2, on obtient par différence : z 1 2 i 3 2 5 points 1 i 3 + = 2 ⇐⇒ z = 2 2 2 = 4 z ′ − 1 − i 3 = e−i 3 z − 1 − i 3 π g est donc la similitude directe de centre B et d’angle − . C’est la rota3 tion de centre B. b. Voir la partie obligatoire. Pour le point J image de O c’est le point d’affixe 2 c. O est le milieu de [AC ], donc la rotation conservant les milieux J est le ` milieu de [E F

+ = 2 ⇐⇒ z = 2 2 2 4 = 1 − i 3 = zB . 1+i 3 + Le seul point invariant est le point B. π De z ′ = e−i 3 z + 2 et π 1 − i 3 = e−i 3 1 − i 3 + 2, on obtient par différence : z 1 2 i 3 2 = π z ′ − 1 − i 3 = e−i 3 z − 1 − i 3 π g est donc la similitude directe de centre B et d’angle − . C’est la rotation 3 de centre B. b. Voir la partie obligatoire. Pour le point J image de O c’est le point d’affixe 2 c. O est le milieu de [AC ], donc la rotation conservant les milieux J est le ` milieu de [E