Similitude

0,5 pt +0,25 pt 3 3. Soit C l’image de B par la rotation de centre A et d’angle π et D l’image de B par 4 3 e l’homoth´tie de centre A et de rapport . On d´signe par s la similitude directe transformant e 4 A en B et C en D. 0,5 pt +0,5 pt a) D´terminer le rapport et l’angle de s. e b) On note I le centre de la similitude s. Exprimer IB en fonction de IA et donner une − − → → mesure de l’angle (IA, IB). En d´duire la position du point I et le placer sur la figure. e c) D´montrer que I appartient

 1 □  Pour tout n  , PGCD(a, b)  2 □  Pour tout n  , PGCD(a, b)  3 4. La similitude S1 a pour expression complexe . La similitude S2 a pour expression complexe La transformation composée est □  une réflexion □  une translation □  une homothétie □  une rotation 5. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,,) direct. On appelle A B et C les points d’affixes i, 1 + i, et – 1 + i. Soit s la similitude directe qui transforme O en A et B en C. Le centre de s a pour affixe : □  

ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points 1. Soit σ la similitude directe de centre A qui transforme C en H. AH |zH − zA | |6i| 6 3 3 2 Le rapport de cette similitude est k = = = = . = = AC |zC − zA | 8 − 8i| 8 2 4 2 8 zH − zA −6i i 6 3 −→ −→ Un angle de cette similitude est : AC ; AH = arg = arg = arg − × = arg − × (−1 + i) = zC − zA 8 − 8i 8 1−i 8 3 π arg (1 − i) = − + 2kπ, k ∈ Z. 8 4 π 3 2 et d’angle − . σ est la similitude directe de centre A, de rapport 8 4 Métropole 2 15 juin 2007

démonstration les deux propriétés suivantes : Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point M d’affixe z en un point M ′ d’affixe z ′ admet une expression complexe de la forme z ′ = az + b où a ∈ C∗ et b ∈ C. Propriété 2 : Soit C une point d’affixe c. Pour tout point D, distinct de C, d’affixe d et pour tout point E, distinct de C, d’affixe e, on a : e −c − → −→ − − C D ; C E = arg d −c (2π). Question : Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé. 2. Soient

l’équation P(Z) = 0 et donner les solutions sous formes algébrique. (1 point) 2*) Soient A (1+2i), B (-2+i) et C (-1-2i) dans (O, C1, C2) repère orthonormée du plan complexe. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f transformant A en B et o en C. (1 point) 3*) Soit la similitude directe g d’écriture complexe Z’= u3 Z+1 –u avec u C a) Trouver les valeurs de u pour que g soit une translation (0,5 point) b) Trouver les valeurs de u pour que g soit homothétie de rapport -8 (0,5 point)

les élèves ayant choisi spécialité Mathématiques Les parties A et B sont indépendantes. →→ Partie A : Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; , ) . Soit la similitude directe de centre Ω de coordonnées 1 ; 1 , de rapport 3 et d'angle π . 2 2 2 o . Soit la symétrie d'axe O et soit 1° )Justifier que est une similitude dont on donnera le rapport. →→ 2° )Soit M un point de coordonnées ( ; ) dans le repère (O; , ) . Donner les coordonnées ( ; ) du point M' image de M par . Partie B : On

plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB=2 , AC=1+ 5 et (AB , AC)   2 . 2 1)Soit S la similitude directe qui transforme B en A et A en C. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S. 2) On appelle Ω le centre de S. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre AB et à la droite (BC). Construire le point Ω. 3) On note D l’image du point C par la similitude S. a) Démontrer que les points A , Ω et D sont alignés ainsi que les droites (CD) et (AB) sont parallèles

Motrer qu' il existe un déplacemen t f tel que f(A) = C et f(B) = d b) soit g l' anti déplacemen t tel que g(A) = C et g(B) = D déterminer (gof)(C) et gof(D) caractéris er alors gof c)Déduire la forme réduite de l' anti déplacemen t g 2) Soit S la similitude direce tel que S(A) = B et et S(D) = I a) Déterminer une mesure de l' ngle de S ; et calculer son rapport ; construire son centre Ω b) déterminer S(AC) et S(CD) ; en déduire que le triangle O Ω C est rectangle c) déterminer l' image du carré

−z + 2 a = −z + 2 a ⇔ a = a. PROPOSITION VRAIE. 1. z ′ = az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C, donc cette transformation est bien une similitude directe . 2i 4 2i 1 1 2 + i +1 = − +1 = + donc le point A est un point fixe, donc le centre de cette 2i 5 5 5 5 5 5 similitude. π π arg(2i) = donc l’angle de cette similitude est bien . 2 2 |2 i| = 2 donc le rapport de cette similitude est bien 2 . PROPOSITION VRAIE. 2. On peut envisager tous les cas possibles pour les valeurs de x modulo 5. x≡ 0 1 2 3 4 x2 ≡ 0

1 Enfin zC = + i. 2 2 Soit C′ l’image de O dans similitude directe de centre A, de rapport π 2 et d’angle − . 2 On a par définition : π zO′ − zA = 2e− 2 ((zO − zA ) = −i 2((zO − zA ). D’où : zO′ = zA − i 2((zO − zA ) = 2 − i − i 2(−2 + i) = 2 − i + 2 2i + 2 = 2 + 2 + i 2 2 − 1 . Cette affixe n’est pas celle de C. Affirmation FAUSSE. π 4. On a ( f ◦ f )(z = (−1 + i)(−1 + i)z = (1 − 1 − 2i)z = −2iz = 2e− 2 . On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d’angle − π . 2