Similitude

3i. z ′ = k(z − zB ) + zB c’est-à-dire z ′ = 3 E XERCICE 3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points 1. Soit σ la similitude directe de centre A qui transforme C en H. AH |zH − zA | |6i| 6 3 3 2 Le rapport de cette similitude est k = = = = . = = AC |zC − zA | 8 − 8i| 8 2 4 2 8 zH − zA −6i i 3 6 3 − − → → Un angle de cette similitude est : AC ; AH = arg = arg = arg − × = arg − × (−1 + i) = arg (1 − i) = zC − zA 8 − 8i 8 1−i 8 8 π − + 2kπ, k ∈ Z. 4 3 2 π σ est la similutude

deux distincts. Montrer que si deux des rapports d − a , c − a , d − c sont imaginaires a b−c a−b purs, alors le troisi`me l’est aussi. e complexe.tex mardi 20 f´vrier 2007 e Exercice 13. Similitudes dans un triangle On donne un triangle ABC, un r´el positif k et un angle θ. On note SM la similitude directe de centre M , de e e e e rapport k et d’angle θ. Soit C1 d´duit de C par SA , B1 d´duit de B par SC , A1 d´duit de A par SB . Montrer que les deux triangles ABC et A1 B1 C1 ont mˆme centre

Mme Morel-Sp´cialit´ math-cours similitudes e e 1 Les similitudes 1 1.1 Vocabulaire, rappels Transformations du plan D´finition 1.1.1. Une application f du plan dans lui mˆme est une tranformation si f est une bijection du plan dans e e lui mˆme, c’est-`-dire si pour tout point N du plan, il existe un et un seul point M du plan tel que f (M ) = N . e a Exemples : 1. Une translation, une homoth´tie, une rotation, une r´flexion sont des transformations du plan. e e 2. L’application identit´

+ 4, on vérifie 16 × (3j + 1) − 3 × (16j + 4) = 4, donc S = {(3j + 1 ; 16j + 4)| j ∈ Z} Partie B z′ = Amérique du Nord 2e 4 3iπ 8 z. 3 juin 2010 Baccalauréat S 1. La transformation f est une similitude directe de centre O de rapport d’angle 3π 8 . 2 2. a. La transformation g est une similitude directe de centre O de rapport 4 3π 3π 3π 2 = 4, d’angle 3π 8 + 8 + 8 + 8 = 3π 2 b. Pour tout entier naturel n, = −π 2 + 2π. Mn+4 = f (Mn+3 ) = f ◦ f (Mn+2 ) = f ◦ f ◦ f (Mn+1 ) = f ◦ f ◦ f ◦

4ème année Maths Similitudes du plan : Sessions antérieures Décembre 2009 A. LAATAOUI Session principale 2008 : © Le plan est orienté dans le sens direct. uuu Ùuuu r r p OAB est un triangle rectangle et isocèle tel que OA = OB et OA, OB º [ 2p ] . 2 ( ) on désigne par I le milieu du segment [AB] et par C et D les symétriques respectifs du point I par rapport à O et à B. (Voir figure) Soit f la similitude directe qui envoie A sur D et O sur C. 1. Montrer que f est de

le point C appartient à (D). 2 a. Démontrer que les droites (D) et (AB) sont sécantes en un point Ω dont on précisera l’affixe ω. b. On désigne par s2 la symétrie d’axe (D) et par f la transformation définie par f = s2 ◦ s1 . Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport. c. Déterminer les images des points C et Ω par la transformation f . d. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre. 3 Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de

droite (d) d’équation 4x + 3y = 1. Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est l’ensemble des points Mk(3k+1, -4k-1) lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs. 2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M-1(-2 ; 3). 3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z' = [pic]. Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques

On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , le point A d’affixe 2 − i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle π 2 . On note I le milieu du segment [AB]. Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe z ' = ( 1 + i ) z − 1 − 2i . » 2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x − 5y = 2. Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble

points Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe z n . 1. Calculer les affixes des points A1 , A2 et A3 . Placer ces points dans le plan muni du repère (O ; u ; v). 2. a) Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on définira le rapport, l’angle et le centre Ω, d’affixe ω. b) Démontrer que le triangle ΩAn An+1 est isocèle rectangle. 3. a) Établir que, pour tout entier naturel n, on a : ΩAn = 2 2 n−1 . b) À partir de quelle valeur de n

Partie I 1. 5 points a. On sait que la similitude directe s telle que s(O) = A et s(B) = O est unique et que son écriture complexe est : z ′ = az + b, a et b étant deux complexes. On a donc en utilisant les affixes des deux points O et B et de leurs images : 10 0 = = a ×0+b a × 5i + b ⇐⇒ 10 2i = = b a L’écriture complexe de s est donc z ′ = 2iz + 10. b. Éléments caractéristiques : – Rapport de la similitude : c’est |a| = |2i| = 2. π – Angle de la similitude : c’est ar g (a) = 2 – Point invariant