Similitude

la similitude de rapport et d’angle 3 2 3. L’écriture complexe de la similitude directe s est : z ′ = αz + β. En utilisant les points A et C et leurs images, on obtient :   1 + 2 i = 3α + β  3 , d’où par différence  1  − i = 3αi + β 3 1+i (1 + i)2 1 1 + i = 3α(1 − i) ⇐⇒ α = = = i. 3(1 − i) 3 × (1 + 1) 3 2 1 On en déduit ensuite que β = 1 + i − i = 1 − i. 3 3 1 1 ′ L’écriture complexe de s est donc : z = iz + 1 − i. 3 3 Rem. : on pouvait également remarquer que le rapport de la similitude avait

(2−2i)z +1. Cette écriture est de la forme z ′ = αz + β avec α = 2 − 2i et β = 1 donc f est une similitude directe . 1 1 −1 − 2i 1 2 β = = = = − − i. Elle a pour point fixe Ω d’affixe ω avec ω = 1 − α 1 − (2 − 2i) −1 + 2i 5 5 5 Le rapport de cette similitude est |α| = |2 − 2i| = |2(1 − i)| = 2|1 − i| = 2 2. π π 1 1 α = 2 − 2i = 2 2 − i = 2 2e−i 4 . Un argument de α est − . 4 2 2 1 2 π f est la similitude directe de point fixe Ω − − i , de rapport 2 2 et d’angle − . 5 5 4 2. a. Soit B’ l’image de B par

AB −−→ CD 1 2 | − 1 − i| −−→ = |3i − 3| = 3 2 = 3 . AB zD − zB −−→ −−→ D’autre part l’angle de la similtude θ est donné par θ = AC ; BD = arg = zC − zA i π −1 − i = arg = [2π]. arg 3i − 3 3 2 1 π s est donc la similitude de rapport et d’angle [2π]. 3 2 3. L’écriture complexe de la similitude directe s est : z ′ = αz + β. En utilisant les points A et C et leurs images, on obtient :  2   1 + i = 3α + β 3 , d’où par différence 1   − i = 3αi + β 3 (1 + i)2 1 1+i = = i. 1 + i = 3α(1 − i) ⇐⇒ α = 3(1

4ème année Section : Maths Sujet de révision n°3 Mai 2010 A. LAATAOUI Thèmes abordés : Similitude ; Arithmétique ; Espace ; Equations différentielles du second ordre ; primitives et intégrales. Exercice n°1 : © Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. 1) On a représenté une expérience aléatoire par l’arbre de probabilité ci – dessous : B 0.3 A B B A 0.8 B Sachant que p(B) = 0.41 alors P(B|A) = : (a) 0,3. (b) 0,9. (c) 0,6. rr 2) Le plan est

de centre O π et d’angle . 2 On note I le milieu du segment [AB]. Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe z ′ = (1 + i)z − 1 − 2i. » VRAI π Puisque B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle , le triangle 2 OAB est rectangle isocèle direct de sommet O. Or I est le milieu de l’hypoπ AO →− − → ténuse donc = 2 et (AI, AO) = . La similitude de centre A qui transAI 4 π forme I en O a pour rapport 2 et pour angle . Son expression

point C′ appartient à (D). 2. a. Démontrer que les droites (D) et (AB) sont sécantes en un point Ω dont on précisera l’affixe ω. b. On désigne par s2 la symétrie d’axe (D) et par f la transformation définie par f = s2 ◦ s1 . Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport. c. Déterminer les images des points C et Ω par la transformation f . d. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre. 3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de

Fiche N°15 Les Isométries du plan Les Isométries du plan I) Généralités : Dans la suite le plan est noté P . 1) Définition : On appelle isométrie, du plan, toute application f :P  P qui conserve les distances.  Exemples : Ex 1 : Toute rotation R du plan est une isométrie. En effet, soient M et N deux points du plan si M'  R (M) et N'  R ( N) alors M' N'  MN Ex 2 : Toute translation est une isométrie. Pour tous points M et N d’images M' et N' par une translation de vecteur u on a : M'

Projet Mandala Frédéric Levasseur EMM - 2014 Intro Lors de ce projet, tu seras amené à découvrir différentes transformations géométriques dans le plan cartésien. Afin d’y arriver, quelques ateliers te seront proposés tout au long de ce document. Pour mener à terme ce projet, tu réaliseras un Mandala – uniquement à l’aide de transformations géométriques – avec le logiciel GéoGebra. Qu’est-ce qu’une transformation géométrique Une transformation géométrique permet à

Fiche d’explication pour une utilisation simple du Laser. * Lancer le logiciel « CorelDRAW X3 » * Ouvrir un nouveau document. * Exemple d’un carré avec un texte à l’intérieur : * Cliquer sur la forme choisie et rester appuyé jusqu’à la taille voulue. * Pour coter la forme, mettre les valeur dans les cases suivantes. Longueur de la pièce

Homothétie de rapport positif 2012-2013 1. Définition. Soit un point C et un nombre k tel que k  0 L’image d’un point M par l’homothétie de centre C et de rapport k est le point M’ tel que CM '  k  CM Remarque : Puisque k  0 , M ' appartient à la demi-droite [CM) tel que CM’ = k x CM On note : H  C , k  M M' Exemple : Soit M’ l’image de M par H  C , 2  Puisque CM’ = 2 CM, le point M est le milieu de [CM’]. 2. Propriétés. 1. L’homothétie conserve l’alignement, les